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本章归纳整合
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要点归纳
1.导数是在函数极限的基础上发展起来的研究变量的一门学科.它为有效地解决一些传统的初等数学问题提供了一般的方法.如求曲线的切线方程,函数的单调区间,函数的最值以及有关的实际问题.
4.导数的应用主要体现在以下几个方面:
(1)切线斜率:根据导数的几何意义,函数f(x)在x=x0处的导数就是曲线f(x)在点P(x0,f(x0))处的切线斜率.因此求函数在某点处的切线斜率,只需求函数在该点处的导数.
(2)函数的单调性.利用导数判断函数单调性的步骤是:
①确定函数f(x)的定义域;②求导数f′(x);③令f′(x)>0,解出x的取值范围,便得函数单调递增的区间,令f′(x)<0,解出x的取值范围,便得函数单调递减的区间.
(3)函数的极值.利用导数求函数极值的方法是:设函数y=f(x)在x=x0处连续且f′(x0)=0,若在x=x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,则f(x0)为函数的极大值;若在点x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,则f(x0)为函数的极小值.
(4)函数的最值.在闭区间[a,b]上连续的单调函数f(x),在[a,b]上必有最大值与最小值.设函数f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,先求出f(x)在(a,b)内的极值,然后将f(x)的各极值与f(a)、f(b)比较,其中最大(小)者为最大(小)值.
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