3  简谐运动的图像和公式


(时间：60分钟)
知识点
基础
中档
稍难

简谐运动的图像
1、2、3
4、5、6


简谐运动的表达式
7
8


简谐运动的相位、相位差

9、10


综合提升

11、13
12



知识点一　简谐运动的图像
1．一质点做简谐运动的图像如图1-3-8所示，在前2 s内具有最大负方向速度的时刻是
(　　)．


图1-3-8
A．0.5 s        B．1 s        C．1.5 s        D．2 s
解析　质点经过平衡位置时速度最大，速度方向也可以根据切线斜率的正、负来判断，也可以根据下一时刻位移的变化来判断，还可以根据简谐运动的过程来判断．
答案　B
2．在水平方向上做简谐运动的质点，其振动图像如图1-3-9所示．假设向右的方向为正方向，则物体的位移向左且速度向右的时间段是
(　　)．


图1-3-9
A．0 s到1 s内
B．1 s到2 s内
C．2 s到3 s内
D．3 s到4 s内
解析　由于规定向右为正方向，则位移向左表示位移与规定的正方向相反，这段时间应为2 s到3 s或3 s到4 s．因为要求速度向右，因此速度应为正．则满足两个条件的时间间隔为3 s到4 s，D正确．
答案　D
3．如图1-3-10示是用频闪照相的方法获得的弹簧振子的位移—时间图像，下列有关该图像的说法不正确的是
(　　)．


图1-3-10
A．该图像的坐标原点是建立在弹簧振子小球的平衡位置
B．从图像可以看出小球在振动过程中是沿x轴方向移动的
C．为了显示小球在不同时刻偏离平衡位置的位移，让底片沿x轴方向匀速运动
D．图像中小球的疏密显示出相同时间内小球位置变化快慢不同
解析　该图像的坐标原点是建立在弹簧振子的平衡位置，小球的振动过程是沿x轴方向移动的，故A对B对；由获得图像的方法知C错；频闪照相是在相同时间内留下的小球的像．因此小球的疏密显示了它的位置变化快慢，D对．
答案　C
4．如图1-3-11一做简谐运动的物体的振动图像，下列说法正确的是
(　　)．


图1-3-11
A．振动周期是2×10－2 s
B．前2×10－2 s内物体的位移是－10 cm
C．物体的振动频率为25 Hz
D．物体的振幅是10 cm
解析　物体做简谐运动的周期、振幅是振动图像上能明显标识的两个物理量，由图知，周期为4×10－2 s，振幅为10 cm，频率f＝＝25 Hz，选项A错误，C、D正确；前2×10－2 s内物体从平衡位置又运动到平衡位置，物体位移为0，选项B错误．
答案　CD
5．一质点做简谐运动的图像如图1-3-12示，下列说法中正确的是
(　　)．


图1-3-12
A．质点的振动频率是4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程是20  cm
C．第4 s末质点的速度是零
D．在t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点位移大小相等，方向相同
解析　由振动图像可知，质点振动的周期是4 s，频率为0.25 Hz，故选项A错误；振幅A＝2 cm，每周期质点经过的路程为4A,10 s为2.5个周期，经过的路程为2.5×4A＝10A＝20 cm，选项B是正确的.4 s末质点在平衡位置速度最大，故选项C错误．在第t＝1 s和t＝3 s两时刻，质点分别在正向最大位移和负向最大位移，位移大小相等、方向相反，故选项D错误．
答案　B
6．如图1-3-13示的三个图线分别是用不同的传感器测出的不同物体的振动图线．从三个图线可知，这三个物体振动的共同特点是具有________；三个物体中，最简单的振动是________的振动；图中心脏跳动的图线是某人的心电图，方格纸每个小方格的宽度是0.5 cm，心电图记录仪拖动方格纸的速度是1.8 cm/s，则此人的心率是________次/分．


图1-3-13
答案　周期性　弹簧振子　67.5
知识点二　简谐运动的表达式
7．有两个振动，其表达式分别是x1＝3sincm，x2＝6sincm，下列说法正确的是
(　　)．
A．它们的振幅相同         B．它们的周期相同
C．它们的相位差恒定          D．它们的振动步调一致
解析　由简谐运动的公式可看出，振幅分别为3 cm、6 cm，选项A错误；角频率ω＝100π rad/s相同，周期T＝也相同，选项B正确；相位差Δφ＝－＝为定值，故相位差恒定，选项C正确、D错误．
答案　BC
8．有一弹簧振子，振幅为0.8 cm，周期为0.5 s，初始时具有负方向的最大加速度，则它的振动方程是
(　　)．
A．x＝8×10－3sin m
B．x＝8×10－3sin m
C．x＝8×10－1sin m
D．x＝8×10－1sin m
解析　振幅A＝0.8 cm＝8×10－3 m；角频率ω＝＝4π rad/s.由题知初始时振子在正向最大位移处，即sin φ0＝1，得φ0＝，故振子做简谐运动的方程为x＝8×10－3sin m，选项A正确．
答案　A
知识点三　简谐运动的相位、相位差
9．一个质点做简谐运动的图像如图1-3-14示，下列叙述中正确的是(　　)．


图1-3-14
A．质点的振动频率为4 Hz
B．在10 s内质点经过的路程为20 cm
C．在5 s末，质点做简谐运动的相位为π
D．t＝1.5 s和t＝4.5 s两时刻质点的位移大小相等，都是  cm
解析　由振动图像可直接得到周期T＝4 s，频率f＝＝0.25 Hz，故选项A是错误的．一个周期内做简谐运动的质点经过的路程是4A＝8 cm,10 s为2.5个周期，故质点经过的路程为20 cm，选项B是正确的．由图像知位移与时间的关系为x＝Asin(ωt＋φ0)＝0.02sinm.当t＝5 s时，其相位ωt＋φ0＝×5＝π，故C不正确．在1.5 s和4.5 s两时刻，质点位移相同，由位移与时间关系式得x＝0.02 sinm＝ cm，故D正确．
答案　BD
10．一个小球和轻质弹簧组成的系统按x1＝5 sincm的规律振动．
(1)求该振动的周期、频率、振幅和初相．
(2)另一简谐运动的表达式为x2＝5 sincm，求它们的相位差．
解析　(1)已知ω＝8π，由ω＝得，T＝s，f＝＝4 Hz.A＝5 cm，φ1＝.
(2)由Δφ＝φ2－φ1得，Δφ＝π－＝π.
答案　(1)s,4 Hz,5 cm，　(2)π


11．一质点做简谐运动，其位移和时间关系如图1-3-15所示．


图1-3-15
(1)求t＝0.25×10－2 s时的位移；
(2)在t＝1.5×10－2 s到2×10－2 s的振动过程中，质点的位移、回复力、速度、动能、势能如何变化？
(3)在t＝0到8.5×10－2 s时间内，质点的路程、位移各多大？
解析　(1)由题图可知A＝2 cm，T＝2×10－2s，振动方程为x＝Asin＝－Acos ωt
＝－2cost cm＝－2cos 100πt cm
当t＝0.25×10－2s时，x＝－2coscm＝－ cm.
(2)由图可知在1.5×10－2s～2×10－2s内，质点的位移变大，回复力变大，速度变小，动能变小，势能变大．
(3)从t＝0至8.5×10－2s时间内为个周期，质点的路程为s＝17A＝34 cm，位移为2 cm.
答案　(1)－ cm　(2)变大　变大　变小　变小　变大　(3)34 cm　2 cm
12．如图1-3-16所示是一个单摆振动的情形，O是它的平衡位置，B、C是摆球所能到达的最远位置．设摆球向右方向运动为正方向．图1-3-16所示是这个单摆的振动图像．根据图像回答：(取π2＝10)


甲　　　　            　　　　　乙
图1-3-16
(1)单摆振动的频率是多大？
(2)开始时刻摆球在何位置？
(3)若当地的重力加速度为10 m/s2，试求这个摆的摆长是多少？
解析　(1)由图乙可知T＝0.8 s，则f＝＝1.25 Hz.
(2)由图乙知，开始时刻摆球在负向最大位移处，因向右为正方向，所以开始时摆球应在B点．
(3)由T＝2π ，得：l＝≈0.16 m.
答案　(1)1.25 Hz　(2)B点　(3)0.16 m
13．根据如图1-3-17示的振动图像．


图1-3-17
(1)算出下列时刻振子对应平衡位置的位移．
①t1＝0.5 s；②t2＝1.5 s.
(2)将位移随时间的变化规律写成x＝Asin(ωt＋φ)的形式并指出振动的初相位是多少？
解析　(1)x＝10 cos cm.
当t2＝0.5 s时，x2＝5 cm；当t1＝1.5 s时，x1＝－5 cm.
(2)x＝10sincm，初相位是.
答案　(1)①5 cm　②－5 cm
(2)x＝10sincm