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第24课时 多边形与平行四边形
第25课时 矩形、菱形、正方形
第26课时 梯形
第五单元 四边形
第五单元 四边形
第24课时 多边形与平行四边形
第24课时┃多边形与平行四边形
考点1 多边形
首尾顺次
(n-2)·180°
3
第24课时┃多边形与平行四边形
相等
相等
轴
考点2 平面图形的镶嵌
1.定义:用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆
盖,通常把这类问题叫多边形覆盖平面或平面镶嵌问题.
2.平面镶嵌的条件:在同一顶点的几个角的和等于360°.
3.常见形式
(1)可以铺满地板的同一种正多边形有:正三角形、正方形、正六边形.
(2)也可用多种正多边形铺地板.
第24课时┃多边形与平行四边形
考点3 平行四边形的概念与性质
第24课时┃多边形与平行四边形
平行
相等
相等
平分
考点4 平行四边形的判定
第24课时┃多边形与平行四边形
相等
相等
相等
平分
考点5 平行四边形的面积
1.公式:平行四边形的面积=底×高.
2.拓展:同底(等底)等高(同高)的平行四边形面积相等.
3.两条平行线的距离:在两条平行线中一条直线上任意一
点到另一条直线上的距离叫做两条平行线的距离.
4.性质:夹在两条平行线间的平行线段相等.
第24课时┃多边形与平行四边形
探究一 多边形的内角和与外角和
命题角度:
1.n边形的内角和定理的应用;
2.n边形的外角和定理的应用.
第24课时┃多边形与平行四边形
例1 [2013·娄底 ] 一个多边形的内角和是外角和的2倍,则这个多边形的边数为________.
如果已知n边形的内角和,那么可以求出它的边数n;对于多边形的外角和等于360°,应明确两点:(1)多边形的外角和与边数n无关;(2)多边形内角问题转化为外角问题常常有化难为易的效果.
方法点析
第24课时┃多边形与平行四边形
6
探究二 平行四边形的性质
命题角度:
1. 平行四边形对边的特点;
2. 平行四边形对角的特点;
3. 平行四边形对角线的特点.
例2 [2013·徐州 ]如图24-1,四边形ABCD是平行四边形,DE平分∠ADC交AB于点E,BF平分∠ABC交CD于点F.
(1)求证:DE=BF;
(2)连接EF,写出图中所有的全等三角形.(不要求证明)
第24课时┃多边形与平行四边形
图24-1
第24课时┃多边形与平行四边形
平行四边形的性质的应用,主要是利用平行四边形的边与边(对边平行且相等),角与角(对角相等)及对角线(互相平分)之间的特殊关系进行证明或计算.
方法点析
第24课时┃多边形与平行四边形
法二:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴DC∥AB.∴∠CDE=∠AED.
∵DE平分∠ADC,∴∠ADE=∠CDE.∴∠ADE=∠AED,
∴AE=AD.同理CF=CB.又AD=CB,AB=CD,
∴AE=CF,∴DF=BE.
∴四边形DEBF是平行四边形.∴DE=BF.
(2)△ADE≌△CBF;△DEF≌△BFE.
探究三 平行四边形的判定
命题角度:
1. 从对边判定四边形是平行四边形;
2. 从对角判定四边形是平行四边形;
3. 从对角线判定四边形是平行四边形.
例3 [2013·无锡 ]如图24-2所示,四边形ABCD中,对角线AC与BD相交于O,在①AB∥CD;②AO=CO;③AD=BC中任意选取两个作为条件,“四边形ABCD是平行四边形”作为结论构成命题.
第24课时┃多边形与平行四边形
(1)以①②作为条件构成的命题是真命题吗?若是,请证明;若不是,请举出反例;
(2)写出按题意构成的所有命题中的假命题,并举出反例加以说明.(命题请写成“如果…,那么…”的形式)
图24-2
第24课时┃多边形与平行四边形
第24课时┃多边形与平行四边形
解:(1)是真命题.
证明如下:∵AB∥CD,∴∠ABO=∠CDO.
又∵∠AOB=∠COD,AO=CO,
∴△ABO≌△CDO.
∴AB=CD,∴四边形ABCD是平行四边形.
(2)假命题:①四边形ABCD中,如果AB∥CD,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形;
②四边形ABCD中,AC交BD于O,如果AO=CO,AD=BC,那么四边形ABCD是平行四边形.
判别一个四边形是不是平行四边形,要根据具体条件灵活选择判别方法.凡是可以用平行四边形知识证明的问题,不要再回到用三角形全等证明,应直接运用平行四边形的性质和判定去解决问题.
方法点析
第24课时┃多边形与平行四边形
反例:
平行四边形中心的作用大
教材母题
用硬纸板剪一个平行四边形,作出它的对角线的交点O,用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处,拨动细木条,使它随意停留在任意位置.观察几次拨动的结果,你发现了什么?证明你的发现.
第24课时┃多边形与平行四边形
第24课时┃多边形与平行四边形
我们设这条直线和平行四边形两边AD、
BC的交点分别是M、N.因为AD∥BC,
所以∠DAO=∠BCO,∠ADO=∠CBO.
又因为对角∠AOM=∠CON,∠DOM=∠BON,
边AO=CO,BO=DO,就可以根据“角边角(ASA)”
定理证明△AOM≌△CON,△DOM≌△BON.
所以两个梯形AMNB和CNMD面积相等,而且是全等的.
(3)如果木条所在的直线和平行四边形AB、CD两个边相交,证明和上面的情况类似.
图24-3
[点析] 过平行四边形的中心分平行四边形的两个部分是全等图形,由此我们可以得出对应的线段与角相等.
第24课时┃多边形与平行四边形
中考预测
1.如图24-4,在平行四边形ABCD中,对角线AC,BD交于点O,经过点O的直线交AB于E,交CD于F.
求证:OE=OF.
图24-4
第24课时┃多边形与平行四边形
证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA=OC,AB∥CD,
∴∠OAE=∠OCF.
∵∠AOE=∠COF,
∴△OAE≌△OCF(ASA),
∴OE=OF.
图24-5
第24课时┃多边形与平行四边形
解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AO=OC,AB∥CD.
∴∠E=∠F.又∠AOE=∠COF.
∴△AOE≌△COF(AAS).
第24课时┃多边形与平行四边形
(2)连接EC、AF,则EF与AC满足EF=AC时,四边形AECF是矩形.
理由如下:
由(1)可知△AOE≌△COF,
∴OE=OF.
∵AO=CO,
∴四边形AECF是平行四边形.
∵EF=AC,
∴四边形AECF是矩形.
第25课时 矩形、菱形、正方形
考点1 矩形
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
直角
直
相等
斜边
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
相等
考点2 菱形
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
邻边
相等
垂直
一组对角
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
相等
垂直
一半
考点3 正方形
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
平行
相等
直角
垂直平分
判定正方形的思路图:
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
考点4 中点四边形
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
菱形
矩形
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
正方形
菱形
菱形
矩形
探究一 矩形的性质及判定的应用
命题角度:
1. 矩形的性质;
2. 矩形的判定.
例1 [2013·白银 ]如图25-1,在△ABC中,D是BC边上的一点,E是AD的中点,过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F,且AF=BD,连接BF.
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
(1)线段BD与CD有何数量关系,为什么?
(2)当△ABC满足什么条件时,四边形AFBD是矩形?
请说明理由.
图25-1
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
解:(1)BD=CD.理由如下:∵AF∥BC,
∴∠AFE=∠DCE,∠FAE=∠CDE.
又E是AD的中点,∴AE=DE.∴△AFE≌△DCE.
∴AF=CD.又AF=BD,∴BD=CD.
(2)△ABC满足AB=AC时,四边形AFBD是矩形.
理由如下:
∵AF∥BC,AF=BD,∴四边形AFBD是平行四边形.
∵AB=AC,BD=CD,∴AD⊥BC.∴∠ADB=90°.
∴四边形AFBD是矩形.
命题角度:
1. 菱形的性质;
2. 菱形的判定.
例2 [2013·泰安 ]如图25-2,在四边形ABCD中,AB=AD,CB=CD,E是CD上一点,BE交AC于F,连接DF.
(1)证明:∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE;
(2)若AB∥CD,试证明四边形ABCD是菱形;
(3)在(2)的条件下,试确定E点的位置,使∠EFD=∠BCD,并说明理由.
探究二 菱形的性质及判定的应用
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
图25-2
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
解:(1)∵AB=AD,CB=CD,AC=AC,
∴△ABC≌△ADC.
∴∠BAC=∠DAC.
∵AB=AD,∠BAF=∠DAF,AF=AF.
∴△ABF≌△ADF.∴∠AFB=∠AFD.
又∵∠CFE=∠AFB,∴∠AFD=∠CFE.
所以∠BAC=∠DAC,∠AFD=∠CFE.
(2)∵AB∥CD,∴∠BAC=∠ACD.
又∵∠BAC=∠DAC,∴∠DAC=∠ACD,
∴AD=CD.∵AB=AD,CB=CD,
∴AB=CB=CD=AD.
所以四边形ABCD是菱形.
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
方法点析
在证明一个四边形是菱形时,要注意判别的条件是平行四边形还是任意四边形.若是任意四边形,则需证四条边都相等;若是平行四边形,则需利用对角线互相垂直或一组邻边相等来证明.
(3)当BE⊥CD时,∠EFD=∠BCD.
理由:∵四边形ABCD为菱形,
∴BC=CD,∠BCF=∠DCF.
又∵CF为公共边,∴△BCF≌△DCF.∴∠CBF=∠CDF.
∵BE⊥CD,∴∠BEC=∠DEF=90°.
∴∠EFD=∠BCD.
探究三 正方形的性质及判定的应用
命题角度:
1. 正方形的性质;
2. 正方形的判定.
图25-3
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
B
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
探究四 特殊平行四边形的综合应用
命题角度:
1. 矩形、菱形、正方形的性质的综合应用;
2. 矩形、菱形、正方形的关系转化.
例4 [2013·梅州 ] 如图25-4,在四边形ABFC中,∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.
(1)求证:四边形BECF是菱形;
(2)若四边形BECF为正方形,求∠A的度数.
图25-4
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
解:(1)证明:∵BC的垂直平分线EF交BC于点D,
∴BF=FC,BE=EC.
又∵∠ACB=90°,∴EF∥AC.
∴BE∶AB=DB∶BC.
∵D为BC中点,∴DB∶BC=1∶2,
∴BE∶AB=1∶2,∴E为AB中点,即BE=AE.
∵CF=AE,∴CF=BE,∴CF=FB=BE=CE,
∴四边形BECF是菱形.
(2)如图,∵四边形BECF为正方形,
∴∠BEC=90°.又AE=CE,∴∠A=45°.
探究五 中点四边形
命题角度:
1. 对角线相等的四边形的中点四边形;
2. 对角线互相垂直的四边形的中点四边形.
例5 [2013·恩施 ]如图25-5所示,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=CD,E、F、G、H分别为边AB、BC、CD、DA的中点.求证:四边形EFGH为菱形.
图25-5
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
方法点析
依次连接四边形各边中点所得到的新四边形的形状与原四边形对角线的关系(相等、垂直、相等且垂直)有关.
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
探索正方形中的三角形全等
教材母题
如图25-6,四边形ABCD是正方形.点G是BC上的任意一点,DE⊥AG于点E,BF∥DE,且交AG于点F.求证:AF-BF=EF.
图25-6
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
[点析] 正方形含有很多相等的边和角,这些是证明全等的有力工具.
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
中考预测
1.如图25-7①,在正方形ABCD中,E、F分别是边AD、DC上的点,且AF⊥BE.
(1)求证:AF=BE;
(2)如图②,在正方形ABCD中,M、N、P、Q分别是边AB、BC、CD、DA上的点,且MP⊥NQ.MP与NQ是否相等?并说明理由.
图25-7
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
解:(1)证明:设AF与BE交于点G,
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAD=∠D=90°,
∴Rt△ADF中,∠FAD+∠AFD=90°.
∵AF⊥BE,∴∠AGE=90°,
∴Rt△AEG中,∠FAD+∠AEG=90°.
∴∠AFD=∠AEG.∴△DAF≌△ABE.∴AF=BE.
(2)相等.理由:过点A作AF∥MP交CD于点F,过点B作BE∥NQ交AD于E.得到?BEQN和?AFPM,
∴AF=MP,BE=NQ,
由(1)得AF=BE,∴MP=NQ.
2.如图25-8,在正方形ABCD中,G是BC上的任意一点(G与B、C两点不重合),E、F是AG上的两点(E、F与A、G两点不重合),若AF=BF+EF,∠1=∠2,请判断线段DE与BF有怎样的位置关系,并证明你的结论.
图25-8
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
解:根据题目条件可判断DE∥BF.
证明如下:
∵四边形ABCD是正方形,
∴AB=AD,∠BAF+∠2=90°.
∵AF=AE+EF,
又AF=BF+EF,∴AE=BF.
∵∠1=∠2,∴△ABF≌△DAE(SAS).
∴∠AFB=∠DEA,∠BAF=∠ADE.
∴∠ADE+∠2=∠BAF+∠2=90°,
∴∠AED=∠BFA=∠DEG=90°.
∴DE∥BF.
3.如图25-9,四边形ABCD是边长为2的正方形,点G是BC延长线上一点,连接AG,点E、F分别在AG上,连接BE、DF,∠1=∠2,∠3=∠4.
(1)证明:△ABE≌△DAF;
(2)若∠AGB=30°,求EF的长.
图25-9
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
第25课时┃ 矩形、菱形、正方形
第26课时 梯形
考点1 梯形的有关概念
第26课时┃ 梯形
平行
不平行
考点2 等腰梯形
第26课时┃ 梯形
底角
相等
相等
考点3 梯形中常用的辅助线
第26课时┃ 梯形
第26课时┃ 梯形
探究一 梯形的基本概念及性质
命题角度:
1. 梯形的定义及分类;
2. 梯形的角度及面积的计算.
第26课时┃ 梯形
C
第26课时┃ 梯形
方法点析
梯形问题通常通过添加辅助线将其转化为三角形或特殊四边形来解决.常用添加辅助线的方法有:(1)平移一腰;(2)过同一底上的两个顶点作高;(3)平移对角线;(4)延长两腰.
第26课时┃ 梯形
探究二 等腰梯形的性质
命题角度:
1. 等腰梯形两腰的大小关系,两底的位置关系;
2. 等腰梯形在同一底上的两个角的大小关系;
3. 等腰梯形的对角线的关系.
例2 [2011·南充 ]如图26-1所示,四边形ABCD是等腰梯形,AD∥BC,点E、F在BC上,且BE=CF,连接DE、AF.
求证:DE=AF.
图26-1
第26课时┃ 梯形
第26课时┃ 梯形
方法点析
利用等腰梯形的性质不仅可证明两直线平行,而且可证明两边相等或两个角相等.
第26课时┃ 梯形
探究三 等腰梯形的判定
命题角度:
1. 定义法;
2. 从同一底上的两个角的大小关系来判定梯形是等腰梯形;
3. 从两条对角线的大小关系来判定梯形是等腰梯形.
例3 [2013·钦州]如图26-2,梯形ABCD中,AD∥BC,AB∥DE,∠DEC=∠C.
求证:梯形ABCD是等腰梯形.
图26-2
第26课时┃ 梯形
第26课时┃ 梯形
证明:∵AB∥DE,
∴∠B=∠DEC.
∵∠DEC=∠C,
∴∠B=∠C.
又∵四边形ABCD是梯形,
∴梯形ABCD是等腰梯形.
方法点析
证明等腰梯形首先要满足梯形的定义,再证明两腰相等,或同一底上的两角相等,或对角线相等即可.
探究四 梯形中的转化思想
命题角度:
梯形中辅助线的作法.
例4 [2012·滨州 ]我们知道“连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线”,“三角形的中位线平行于三角形的第三边,且等于第三边的一半”.类似地,我们连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线.如图26-3,在梯形ABCD中,AD∥BC,点E,F分别是AB,CD的中点,那么EF就是梯形ABCD的中位线.通过观察、测量,猜想EF和AD,BC有怎样的位置和数量关系?并证明你的结论.
第26课时┃ 梯形
图26-3
第26课时┃ 梯形
第26课时┃ 梯形
方法点析
1.梯形的两底平行,通过适当的辅助线把梯形转化为三角形与平行四边形,或者三角形与矩形,三角形与三角形等.解决梯形问题的基本方法是:(1)平移一腰;(2)过同一底上的两个顶点作高;(3)平移对角线;(4)延长两腰.
2.遇三角形一边的中点,通常作平行线,利用平行线分线段成比例定理或相似三角形对应边的比相等得另一边的中点.
第26课时┃ 梯形
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