2013年长沙市初中毕业学业水平考试试卷
数    学
注意事项：
1、答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、考室和座位号；
2、必须在答题卡上答题，在草稿纸、试题卷上答题无效；
3、答题时，请考生注意各大题题号后面的答题提示；
4、请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔迹清晰、卡面清洁;
5、答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
6、本学科试卷共26个小题，考试时量120分钟，满分120分。

一、选择题（在下列各题的四个选项中，只有一项是符合题意的。请在答题卡中填涂符合题意的选项。本题共10个小题，每小题3分，共30分）
1．下列实数是无理数的是
 A．－1 B．0 C．
 D．

2．小星同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦，我的梦”，能搜索到与之相关的结
果的条数约为61 700 000，这个数用科学记数法表示为
 A．
 B．

 C．
 D．

3．如果一个三角形的两边长分别为2和4，则第三边长可能是
 A．2 B．4 C．6 D．8
4．已知
的半径为１cm，
的半径为3cm，两圆的圆心距
为4cm，则两圆的位置关系是
 A．外离 B．外切 C．相交 D．内切
5．下列计算正确的是
 A．
  B．

 C．
  D．

6．某校篮球队12名同学的身高如下表：
身高（cm）
180
186
188
192
195

人数
1
2
5
3
1

则该校篮球队12名同学身高的众数是（单位：cm）
A．192 B．188 C．186 D．180
7．下列各图中，
大于
的是

[来源:]

A                   B               C                    D
8．下列多边形中，内角和与外角和相等的是
A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．八边形
9．在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是

10．二次函数
的图象如图所示，[来源:]
则下列关系式错误的是
 A．
 B．
       
 C．
 D．

                              
                         （第10题）

二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．计算：
          ．
12．因式分解：
           ．
13．已知
，则
的余角等于       度．
14．方程
的解为

         ．
15．如图，BD是
的平分线，
是
上的一点，
于点
，
，
则点
到边
的距离为　 　
．

     （第15题）             （第16题）             （第18题）
16．如图，在△
中，点D，点E分别是边AB，AC的中点，则△
与△
的周长之比等于　 　    ．
17．在一个不透明的盒子中装有n个小球，它们只有颜色上的区别，其中有2个红球．每
次摸球前先将盒中的球摇匀，随机摸出一个球记下颜色后再放回盒中，通过大量重
复摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定于0.2，那么可以推算出n大约是　  　．
18．如图，在梯形ABCD中，
，
，
，
交BC于点E，若AD＝2，BC＝5，则边CD的长是　 　 ．                       

三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．计算：
．
20．解不等式组
    并将其解集在数轴上表示出来．

四、解答题（本题共2个小题，每小题8分
，共16分）
21．“宜居长沙”是我们的共同愿景，空气质量倍受人们关注．我市某空气质量监测站点检测了该区域每天的空气质量情况，统计了2013年1月份至４月份若干天的空气质量情况，并绘制了如下两幅不完整的统计图．请根据图中信息，解答下列问题：


（1）统计图共统计了          天的空气质量情况．
（2）请将条形统计图补充完整，并计算空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数．
（3）从小源所在班级的40名同学中，随机选取一名同学去该空气质量监测站点参观，则恰好选到小源的概率是多少？
22．如图，△ABC中，以AB为直径的
O交AC于点D，
∠DBC＝∠BAC．
（1）求证：BC是
O的切线；
（2）若
O的半径为2，∠BAC＝30°，
    求图中阴影部分的面积．
                                                            （第22题）
五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）
23．为方便市民出行，减轻城市中心交通压力，长沙市正在修建贯穿星城南北、东西的
地铁1、2号线．已知修建地铁1号线24千米和2号线22千米共需投资265亿元；若1号线每千米的平均造价比2号线每千米
的平均造价多0. 5
亿元．
   （1）求1号线，2号线每千米的平均造价分别是多少亿元？
   （2）除1，2号线外，长沙市政府规划到2018年还要再建91.8千米的地铁线网．据预算，这91.8千米地铁线网每千米的平均造价是1号线每千米的平均造价的1.2倍，则还需投资多少亿元？

24．如图，在
ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，∠AND＝90°，连接CM交DN于点O．
（1）求证：△
≌△
；
（2）过点C作CE⊥MN于点E，交DN于点P，
若PE＝1，∠1=∠
2，求AN的长．

                                                      （第24题）
                                                     
 

六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25．设
是任意两个不等实数，我们规定：满足不等式
的实数
的所有取值的全体叫做闭区间，表示为
．对于一个函数，如果它的自变量
与函数值
满足：当
时，有
，我们就
称此函数是闭区间
上的“闭函数”．
   （1）反比例函数
是闭区间
上的“闭函数”吗？请判断并说明理由；
   （2）若一次函数
是闭区间
上的“闭函数”，求此函数的解析式；
   （3）若二次函数
是闭区间
上的“闭函数”，求实数
的值．

26．如图，在平面直角坐标系中，直线
与
轴，
轴分别交于点A，点B，动点P
在第一象限内，由点P向
轴，
轴所作的垂线PM，PN（垂足为M，N）分别与直线AB相交于点E，点F，当点P
运动时，矩形PMON的面积为定值2．
   （1）求
的度数；
   （2）求证：△
∽△
；
（3）当点E，F都在线段AB上时，由三条线段
       AE，EF，BF组成一个三角形，记此三角
      形的外接圆面积为
，△
的面积为
．
      试探究：
是否存在最小值？若存在，
请求出该最小值；若不存在，请说明理由．

                                                      （第26题）

2013年长沙市初中毕业学业水平考试试卷
数学参考答案及评分标准

一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10

答案
D
C
B
B
A
B
D
A
C
D


二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分）
11．
     12．
  13．23     14．1
15．4  16．
         17．10  18．3

三、解答题（本题共2个小题，每小题6分，共12分）
19．解：原式
=
.  6分
20．解：解不等式①，得：
； 2分
        解不等式②，得：
；  4分
所以原不等式组的解集是：
.  5分
        解集在数轴上表示如图所示:

 6分

四、解答题（本题共2个小题，每小题8分，共16分）
21. 解：
（1）100 ； 2分
（2）补充条形统计图如下图所示；  4分
 

空气质量为“优”所在扇形的圆心角度数：
；  6分
（3）恰好选到小源的概率是
.   8 分

22．（1）证明：
为
O直径，

， 1分
    

， 2分
    




， 3分
    
点B在
O上，
BC是
O的切线.  4分
    （2）解：连接OD，

，则∠BOD＝2∠A=60°， 5分
    

 6分
        

.
      
阴影部分的面积为
. 8分
五、解答题（本题共2个小题，每小题9分，共18分）
23．解：（1）设1号线，2号线每千米的平均造价分别是
亿元，
亿元，
则由题意可得
     
 3分
     解之得
 6分
所以1号线，2号线每千米的平均造价分别为6亿元，5.5亿元； 7分
    （2）由题意得：
（亿元），
所以还需投资660.96亿元. 9分
24．（1）证明：在
ABCD中，
 1分
 
, 2分

M，N分别是AD，BC的中点，

 3分

△
≌△
； 4分
（2）解：在
ABCD中，M，N分别是AD，BC的中点，


，
四边形CDMN为平行四边形； 5分
在Rt△AND中，M为AD中点，
MN=MD；


CDMN为菱形. (由AN//CM，得CM⊥DN，亦可证菱形) 6分

∠MND=∠DNC=∠1=∠2，

CE⊥MN，
∠MND=∠DNC=∠1=∠2＝30°.
(由MN=MD，亦可得∠MND=∠DNC=∠1=∠2＝30°) 7分
在Rt△PEN中，
PE=1， 
EN=
,   8分

∠MNC=∠MND+∠DNC＝60°，

△MNC为等
边三角形，又由(1)可得，MC=AN,


AN=MC =NC=
，
AN的长为
．   9分
六、解答题（本题共2个小题，每小题10分，共20分）
25．解：（1）是； 1分
由函数
的图象可知，当
时，函数值
随着自变量
的增大而减少，而当
时，
；
时，
，故也有
，
      所以，函数
是闭区间
上的“闭函数”.   3分
（2）因为一次函数
是闭区间
上的“闭函数”，所以根据一次函数的图象与性质，必有：
①当
时，

，解之得
，


，
②当
时，

，解之得
，


，
         故一次函数的解析式为
或
.       6分
（3）由于函数
的图象开口向上，且对称轴为
，

顶点为
，由题意根据图象，分以下三种情况讨论：
①当
时，必有
时，
且
时，
，
即方程
必有两个不等实数根，解得
，
而
分布在2的两边，这
与
矛盾，舍去；   7分
         ②当
时，必有
时
，
且
时，
，
即

（1）-（2）得
代入（1）得
或
（舍去）,
故此时有
满足题意；  8分
③ 当
时，必有函数值
的最小值为
，
            由于此二次函数是闭区间
上的“闭函数”，故必有
，
            从而有
，而当
时，
，即得点
；
 又点
关于对称轴
的对称点为
，
由“闭函数”的定义可知必有
，
, 又由①知

故可得
，
符合题意.
综上所述，
,
或
，
为所求的实数. 10分
26．解：（1）
45°； 3分
   （2）由题意可得：点
，点
， 4分

，
,
 5分

45°，由
得，
即

        所以
∽
；
当点F在第二象限或点E在第四象限时，同理可证. 6分
   （3）设
的面积分别是
显然

均为等腰直角三角形，从而它们都相似，故由相似三角形的性质可得到：

，  

        由于

        从而有 
  得到 
，
故以三线段AE,EF,BF所组成的三角形为直角三角形. 7分
（或代数计算或翻折或旋转等方法同样可证得）
    故 
，
           
,
       从而
，
      令
，



； 8分
    
当
，
时，
，
，当且仅当
时取“=”，
则
，当且仅当
时，等号成立； 9分
  根据二次函数的图象与性质，可得： 
       当
时，
有最小值为：

.  10分
(本卷各题的其它合理解答均酌情计分)