2013年岳阳市中考数学试题
一、选择题
1.－2013的相反数是（      ）
A．－2013       B、2013       C、      D、－
2.计算a3·a2的结果是（       ）
A、a5           B、a6      C 、a3＋a2      D、3a2
3.一个正方体的平面展开图如图所示，将它折成正方体后，与汉字“岳”相对的面上的汉字是（        ）
A、建        B、设        C、和      D、谐
4.不等式2x＜10的解集在数轴上表示正确的是（       ）


5.关于x的分式方程＋3＝有增根，则增根为（      ）
A、x＝1     B、x＝－1     C、x＝3     D、x＝－3
6.两圆半径分别为3cm和7cm，当圆心距d＝10cm时，两圆的位置关系为（     ）
A、外离       B、内切       C、相交      D、外切
7.某组7名同学在一学期里阅读课外书籍的册数分别是：14,12,13,12,17,18,16.则这组数据的众数和中位数分别是（      ）
A、12,13      B、12,14      C、13,14     D、13，16
8.二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，对于下列结论：①a＜0；②b＜0；③c＞0；④b＋2a＝0；⑤a＋b＋c＜0.其中正确的个数是（   ）
A、1个       B、2个       C、3个     D、4个
1.B  2. A 3. C  4. D  5. A  6. D   7. B   8. C
二、填空题：
9.分解因式：xy－3x＝____________ x(y－3)
10.单项式－5x2y的系数是____________－5
11.函数y＝中，自变量x的取值范围是____________x≥-2
12.据统计，今年我市参加初中毕业学业考试的九年级学生将近47500人，数据47500用科学记数法表示为____________4.75×104
13.如图，点p（－3,2）处的一只蚂蚁沿水平方向向右爬行了5个单位长度后的坐标为____________（2,2）

   

14.如图所示的3×3方格形地面上，阴影部分是草地，其余部分是空地，一只自由飞翔的小鸟飞下来落在草地上的概率为____________
15.同一时刻，物体的高与影子的长成比例，某一时刻，高1.6m的人影长啊1.2m，一电线杆影长为9m，则电线杆的高为____________m.    12
16.夏季荷花盛开，为了便于游客领略“人从桥上过，如在荷中行”的美好意境，某景点拟在如图所示的矩形荷塘上架设小桥，若荷塘周长为280m，且桥宽忽略不计，则小桥总长为____________m.140
三、解答题：
17.计算：＋(－1)2013－(π－)0
解：原式＝2－1－1
＝0

18.先化简，再求值：
，其中a＝3
解：原式



       

当a＝3时，原式
＝5

19.如图，反比例函数y＝与一次函数y＝x＋b的图象，都经过点A（1,2）
 （1）试确定反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求一次函数图象与两坐标轴的交点坐标。


解：(1) ∵反比例函数y＝  与一次函数y＝x＋b的图象，都经过点A（1,2）
∴k＝2  b＝1
∴反比例函数的解析式为y＝ ，一次函数的解析式为y＝x＋1

(2)解方程组
得
，

∴一次函数图象与两坐标轴的交点坐标为（-2,-1）与（1,2）。

20.某天，一蔬菜经营户用114元从蔬菜批发市场购进黄瓜和土豆共40千克到菜市场去卖，黄瓜好土豆这天的批发价好零售价（单位：元/kg）如下表所示：
品名
批发价
零售价

黄瓜
2.4
4

土豆
3
5

（1）他当天购进黄瓜和土豆各多少千克？
（2）如果黄瓜和土豆全部卖完，他能赚多少钱？
解：(1)设他当天购进黄瓜x千克，土豆y千克。
由题意得：

   解得：

∴他当天购进黄瓜10千克，土豆30千克。

(2) 如果黄瓜和土豆全部卖完，他能赚：10×（4-2.4）+30×（5-3）＝76元

21.某市为了更好地加强城市建设，实现美丽梦想，就社会热点问题广泛征求市民意见，方式是发放调查表：要求每位被调查人员写一个最关心的有关城市建设问题的建议，经统计整理绘制出（a），（b）两幅不完整统计图，请根据统计图提供的信息解答下列问题：
（1）本次上交调查表的总人数为多少？
（2）求关心“道路交通”部分的人数，并补充完整条形统计图。


解：(1) 本次上交调查表的总人数为：900÷30%＝3000（人）
(2) 关心“道路交通”部分的人数为：3000×（1－30%－25%－20%－5%）＝600（人）
补充完整条形统计图：如图。

22.某校有一露天舞台，纵断面如图所示，AC垂直于地面，AB表示楼梯，AE为舞台面，楼梯的坡角∠ABC＝45°，坡长AB＝2m，为保障安全，学校决定对该楼梯进行改造，降低坡度，拟修新楼梯AD，使∠ADC＝30°
（1）求（结果保留根号）；
（2）在楼梯口B左侧正前方距离舞台底部C点3m处有一株大树，修新楼梯AD时底端D是否会触到大树？并说明理由。


解：（1）在Rt△ABC中，∠ABC＝45°，AB＝2m
∵

∴

即：舞台的高AC为
米。
（2）修新楼梯AD时底端不会触到大树。理由如下：
在Rt△ADC中，∠ADC＝30°，
m
∵

∴
＜3
即：修新楼梯AD时底端不会触到大树。

23.某数学兴趣小组开展了一次课外活动，过程如下：如图，正方形ABCD中，AB＝6，将三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角顶点与D点重合。三角板的一边交AB于点P，另一边交BC的延长线于点Q.
（1）求证：DP＝DQ；
（2）如图，小明在图①的基础上做∠PDQ的平分线DE交BC于点E，连接PE，他发现PE和QE存在一定的数量关系，请猜测他的结论并予以证明；
（3）如图，固定三角板直角顶点在D点不动，转动三角板，使三角板的一边交AB的延长线于点P，另一边交BC的延长线于点Q,仍作∠PDQ的平分线DE交BC延长线于点E，连接PE，若AB:AP＝3:4，请帮小明算出△DEP的面积。


解：（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴DA＝DC，∠DAP＝∠DCQ＝90°
∵∠PDQ＝90°
∴∠ADP+∠PDC＝90°
  ∠CDQ+∠PDC＝90°
∠ADP ＝∠CDQ
在△ADP与△CDQ中
∵

∴△ADP≌△CDQ  (ASA)
∴DP＝DQ

（2）PE ＝QE
证明：∵ DE是∠PDQ的平分线
∴∠PDE＝∠QDE
在△PDE与△QDE中
∵

∴△PDE≌△QDE (SAS)
∴PE ＝QE

（3）证明：∵AB:AP＝3:4, AB＝6
∴AP＝8, BP＝2,
由(1)知: △ADP≌△CDQ 则AP＝CQ＝8
由(2)知: PE ＝QE
设CE＝x，则PE ＝QE＝CQ—CE＝8—x
在Rt△PEB中，BP＝2, BE＝6＋x，PE＝8—x
由勾股定理得：22＋（6＋x）2＝（8—x）2
解得：x＝
∵BP∥CD
∴

∴

∴BM＝
∴ME＝ CM＋CE＝6—＋x＝6—＋＝
∴△DEP的面积为：S△DEP ＝S△DME ＋S△PME＝·ME·DC＋·ME·PB＝·ME·(DC＋PB)
＝··(6＋2) ＝··(6＋2) ＝

24如图，已知以E（3,0）为圆心，以5为半径的⊙E与x轴交于A,B两点，与y轴交于C点，抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A,B,C三点，顶点为F.
求A,B,C,三点的坐标；
求抛物线的解析式及顶点F的坐标；
已知M为抛物线上一动点（不与C点重合），试探究：
①使得以A,B,M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，求所有符合条件的点M的坐标；
②若探究①中的M点位于第四象限，连接M点与抛物线顶点F，试判断直线MF与⊙E的位置关系，并说明理由.

解：（1）连接CE
OA＝EA—OE＝2 , OB＝EB＋OE＝8
在Rt△CEO中，CE＝5, OE＝3
由勾股定理得：OC＝4
∴A,B,C,三点的坐标分别为：
A（—2，0）,B（8，0）,C（0，—4）,

（2）∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A（—2，0）,
B（8，0）,C（0，—4）三点
∴
解得：

∴抛物线的解析式为：y＝x2—x—4
∵y＝x2—x—4＝（x—3）2—
∴顶点F的坐标为：F（3，—）

（3）①∵以A,B,M为顶点的三角形面积与△ABC的面积相等，
∴抛物线上的点M到AB的距离为OC＝4
当y＝—4时，x2—x—4＝—4
解得：x1＝0，x2＝6
当y＝4时，x2—x—4＝4
解得：x1＝3—，x2＝3＋
∴所有符合条件的点M的坐标为：
M1（6，—4），M2（3—，4）
M3（3＋，4）

②MF是⊙E的切线。理由如下：
连接ME，
∵ME2＝42＋(6—3)2＝25
MF2＝(—4)2＋(6—3)2＝
EF2＝()2＝
∴ME2＋MF2＝
∴ME2＋MF2＝EF2
∴△EFM是直角三角形（勾股定理逆定理）
∴∠EMF＝90°
∴FM⊥EM
∴MF是⊙E的切线.