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阶段示范性金考卷二

上传时间: 2014-10-12

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阶段示范性金考卷二
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知i2=-1,则复数z=在复平面内对应的点位于(  )
A.第一象限   B.第二象限
C.第三象限   D.第四象限
解析:z====--i,对应点为(-,-).
答案:D
2.已知sin(+θ)=,则cos(π-2θ)=(  )
A.   B.-
C.-   D.
解析:依题意得sin(+θ)=cosθ=,cos(π-2θ)=-cos2θ,由二倍角公式可得cos2θ=2cos2θ-1=2×()2-1=-,所以cos(π-2θ)=-cos2θ=,故选D.【来源:21·世纪·教育·网】
答案:D
3.已知向量a=(3,-1),向量b=(sinα,cosα) ,若a⊥b,则sin2α-2cos2α的值为(  )
A.   B.-
C.   D.-
解析:由a⊥b可得3sinα=cosα,故tanα=;sin2α-2cos2α===-.
答案:B
4.已知正三角形ABC的边长为1,点P是AB边上的动点,点Q是AC边上的动点,且=λ,=(1-λ),λ∈R,则·的最大值为(  )版权所有

A.      B. -
C.    D. -
解析:·=(+)·(+)
=[+(1-λ)]·(+λ)
=[·-λ+(λ-1)+λ(1-λ)·]
=(λ-λ2+1)×1×1×cos60°-λ+λ-1
=(-λ2+λ)-
=-(λ-)2-(λ≤R).
当λ=时,则·的最大值为-.故选D项.
答案:D
5.将函数y=sin2x的图象向右平移个单位,再向上平移1个单位,所得函数图象对应的解析式为(  )21cnjy.com
A.y=sin(2x-)+1    B.y=2cos2x
C.y=2sin2x   D.y=-cos2x
解析:函数y=sin2x的图象向右平移个单位得到y=sin2(x-)=sin(2x-)=-cos2x的图象,再向上平移1个单位,所得函数图象对应的解析式为y=-cos2x+1=-(1-2sin2x)+1=2sin2x,故选C.
答案:C
6.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(ω>0,-<φ<) 的图象关于直线x=对称,且f()=0,则当ω取最小值时φ=(  )
A.-   B.-
C.   D.
解析:-≥×,解得ω≥2,故当ω取最小值时,f(x)=sin(2x+φ),根据f()=0,得sin(+φ)=0,由于-<φ<,所以φ=-.
答案:B
7.已知向量a,b满足a·(a+b)=3,且|a|=2,|b|=1,则向量a与b的夹角为(  )
A.   B.
C.   D.
解析:由a·(a+b)=3得,|a|2+a·b=3,又|a|=2,所以a·b=-1.cos〈a,b〉==-.故向量a与b的夹角为.
答案:C
8.若函数f(x)=sin(2x-)+cos(2x+),则其一个单调递增区间为(  )
A.[0,π]   B.[0,]
C.[-π,0]   D.[-,0]
解析:f(x)=sin(2x-)+cos(2x+)=sin(2x-)-cos(2x-)=sin(2x-)=-cos2x,由于y=cosx的一个单调递减区间是[0,π],所以f(x)的一个单调递增区间为[0,].www.21-cn-jy.com
答案:B
9.已知函数f(x)=sin(ωx+φ)(x∈R)(ω>0,|φ|<)的部分图象如图所示,如果x1,x2∈(-,),且f(x1)=f(x2),则f(x1+x2)=(  )

A.   B.
C.   D.1
解析:由图象可知T=2[-(-)]=π,∴ω=2,∴f(x)=sin(2x+φ),又f(x)过点(-,0),|φ|<,代入可得φ=,∴f(x)=sin(2x+).
∵x1,x2∈(-,),且f(x1)=f(x2),∴x1+x2=,
∴f(x1+x2)=sin=.
答案:C
10.若点M是△ABC所在平面内的一点,且满足|3--|=0,则△ABM与△ABC面积之比等于(  )  21*cnjy*com
A.   B.
C.   D.

解析:由|3--|=0得3--=0,即=(+).如图,+=,由于S△ABC=S?ABDC=S△ABD,而=,所以S△ABM=S△ABD=S△ABC.21教育名师原创作品
答案:C
11.若x∈[0,],sin(x-)=,则sin(2x+)的值为(  )
A.   B.
C.   D.
解析:由sin(x-)=得,sinxcos-cosxsin=,sinx-cosx=,两边平方得sin2x+-sin2x=,∴·+-sin2x=,即sin2x·+cos2x·=,∴sin(2x+)=.
答案:D
12.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若(acosB+bcosA)=2csinC,a+b=4(a,b在变化),且△ABC的面积最大值为,则此时△ABC的形状是(  )21*cnjy*com
A.锐角三角形   B.直角三角形
C.等腰三角形   D.正三角形
解析:由正弦定理得(sinAcosB+cosAsinB)=2sin2C,即sin(A+B)=sinC=2sin2C,即sinC=,C=60°或120°,△ABC的面积S=absinC=ab≤()2=,当且仅当a=b时等号成立,此时a=b=2,选择C.
答案:C
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知向量a=(8,),b=(x,1),其中x>0,若(a-2b)∥(2a+b),则x=________.2·1·c·n·j·y
解析:a-2b=(8-2x,-2),2a+b=(16+x,x+1),由题意得(8-2x)(x+1)=(-2)(16+x),整理得x2=16,又∵x>0,∴x=4.
答案:4
14.已知向量a=(-,),=a-b,=a+b,若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,则△OAB的面积为________.
解析:由题意得,|a|=1,又△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形,所以⊥,||=||.由⊥得(a-b)·(a+b)=|a|2-|b|2=0,所以|a|=|b|,由||=||得|a-b|=|a+b|,所以a·b=0.所以|a+b|2=|a|2+|b|2=2,所以||=||=,故S△OAB=××=1.
答案:1
15.[2013·海淀区期末练习]函数f(x)=Asin(2x+φ)(A>0,φ∈R)的部分图象如图所示,那么f(0)=________.

解析:由图可知,A=2,f()=2,
∴2sin(+φ)=2,sin(+φ)=1,
∴+φ=+2kπ(k∈Z),φ=-+2kπ(k∈Z),
∴f(0)=2sinφ=2sin(-+2kπ)=2×(-)=-1.
答案:-1
16.已知3a+4b+5c=0,且|a|=|b|=|c|=1,则a·(b+c)=________.
解析:依题意得|3a|=3,|4b|=4,|5c|=5,又3a+4b+5c=0,所以向量3a、4b、5c首尾相接构成一个直角三角形,因此有a·b=0,a·(b+c)=a·b+a·c=a·c=|a|·|c|cosθ=cosθ=-(其中θ为向量a与c的夹角).
答案:-
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)[2014·河北高三质检]已知在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且acosC+c=b.
(1)求角A;
(2)若a=1,且c-2b=1,求角B.
解:(1)由acosC+c=b,得sinAcosC+sinC=sinB,
∵sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,
∴sinC=cosAsinC,又sinC≠0,∴cosA=,A=.
(2)由c-2b=1,得c-2b=a,即sinC-2sinB=sinA.
又A=,∴C=π-B,
∴sin(π-B)-2sinB=,
整理得cos(B+)=.
∵0<B<π,∴<B+<π.
∴B+=,即B=.
18.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sinxcosx+sin2x-,将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得函数g(x)的图象,设△ABC的三个角A,B,C的对边分别为a,b,c;21教育网
(1)若f(C)=0,c=6,2sinA=sinB,求a,b的值.
(2)若g(B)=0且m=(cosA,cosB),n=(1,sinA-cosAtanB),求m·n的取值范围.
解:(1)f(x)=sinxcosx+sin2x-=sin2x+(1-cos2x)-=sin2x-cos2x-1=sin(2x-)-1.
f(C)=sin(2C-)-1=0,∴sin(2C-)=1,∴C=.
∵2sinA=sinB,由正弦定理可得b=2a ①
由余弦定理知:a2+b2-2abcos=36,即a2+b2-ab=36 ②
由①②解得:a=2,b=4.
(2)由题意知g(x)=sin(2x+)-1,
∴g(B)=sin(2B+)-1=0,∴sin(2B+)=1,∴B=,
于是m·n=cosA+(sinA-cosA)=cosA+sinA=sin(A+),
∵B=,∴A∈(0,),得A+∈(,π).
∴sin(A+)∈(0,1],即m·n∈(0,1].
19.(本小题满分12分)在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,已知(2a+b)cosC+ccosB=0.21·cn·jy·com
(1)求角C的大小;
(2)若c=4,求使△ABC面积取得最大值时的a,b的值.
解:(1)由已知及由正弦定理得(2sinA+sinB)cosC+sinCcosB=0,所以2sinAcosC+(sinBcosC+sinCcosB)=0,21·世纪*教育网
所以sin(B+C)+2sinAcosC=0,
即sinA+2sinAcosC=0.
因为0<A<π,sinA>0,所以cosC=-,所以C=.
(2)因为△ABC的面积为S=absinC=ab,若使得S取得最大值,只需要ab取得最大值.
由余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC,
即16=a2+b2+ab≥3ab,故ab≤,当且仅当a=b时取等号.
故使得△ABC面积取得最大值时a、b的取值为a=b=.
20.(本小题满分12分)已知函数f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-(ω>0)的图象上两相邻对称轴间的距离为.
(1)求f(x)的单调递减区间;
(2)将函数f(x)的图象向右平移个单位,再将所得图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),得到函数y=g(x)的图象,求g(x)在区间[0,]上的最大值和最小值.www-2-1-cnjy-com
解:(1)f(x)=sinωx·cosωx+cos2ωx-=sin2ωx+-=sin(2ωx+),
由题意知f(x)的最小正周期T=,T===,ω=2,所以f(x)=sin(4x+).
由2kπ+≤4x+≤2kπ+(k∈Z),得+≤x≤+(k∈Z),
所以函数f(x)的单调递减区间为[+,+](k∈Z).
(2)将f(x)的图象向右平移个单位后,得到y=sin[4(x-)+]=sin(4x-)的图象,再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变,得到y=sin(2x-)的图象.所以g(x)=sin(2x-).
因为0≤x≤,所以-≤2x-≤,-≤sin(2x-)≤1,
当2x-=-,即x=0时,g(x)min=-;
当2x-=,即x=时,g(x)max=1.
21.(本小题满分12分)[2014·长沙一模]风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树,记作A、B、P、Q,欲测量P、Q两棵树和A、P两棵树之间的距离,但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近,现可测得A、B两点间的距离为100 m,如图,同时也能测量出∠PAB=75°,∠QAB=45°,∠PBA=60°,∠QBA=90°,则P、Q两棵树和A、P两棵树之间的距离各为多少?2-1-c-n-j-y

解:在△PAB中,∠APB=180°-(75°+60°)=45°,
由正弦定理得=,解得AP=50.
在△QAB中,∠ABQ=90°,∴AQ=100.
又∠PAQ=75°-45°=30°,
由余弦定理得PQ2=AP2+AQ2-2AP·AQ·cos∠PAQ=(50)2+(100)2-2×50×100×cos30°=5000,【出处:21教育名师】
∴PQ==50.
∴P、Q两棵树之间的距离为50 m,A、P两棵树之间的距离为50 m.
22.(本小题满分12分)设角A,B,C是△ABC的三个内角,已知向量m=(sinA+sinC,sinB-sinA),n=(sinA-sinC,sinB),且m⊥n.【版权所有:21教育】
(1)求角C的大小;
(2)若向量s=(0,-1),t=(cosA,2cos2),求|s+t|的取值范围.
解:(1)由题意得m·n=(sin2A-sin2C)+(sin2B-sinAsinB)=0,
即sin2C=sin2A+sin2B-sinAsinB,设a,b,c为内角A,B,C所对的边长,由正弦定理得c2=a2+b2-ab,【来源:21cnj*y.co*m】
再由余弦定理得cosC==,∵0<C<π,
∴C=.
(2)∵s+t=(cosA,2cos2-1)=(cosA,cosB),
∴|s+t|2=cos2A+cos2B
=cos2A+cos2(-A)
=+
=cos2A-sin2A+1
=-sin(2A-)+1,
∵0<A<,∴-<2A-<,
∴-<sin(2A-)≤1,
∴≤|s+t|2<,∴≤|s+t|<.

 


 

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