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专题五
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专题五 万有引力定律
经典回顾
一、考试说明
1开普勒行星运动定律
Ⅰ
定量计算不作要求
2 万有引力及其应用
Ⅱ
地球的表面附近，重力近似于万有引力
3第一宇宙速度 第二宇宙速度 第三宇宙速度
Ⅰ
定量计算只限于第一宇宙速度
二、命题规律
命题规律：
万有引力定律与牛顿三定律，并称经典力学四大定律，可见万有引力定律的重要性。万有引力定律已成为高考和各地模拟试卷命题的热点。此部分内容在《考纲》中列为Ⅱ级要求。有关题目立意越来越新，但解题涉及的知识，难度不大，规律性较强。特别是随着我国载人飞船升空和对空间研究的深入，高考对这部分内容的考查将会越来越强。研究人造卫星、行星等天体的运动时，我们进行了以下近似处理：中心天体是不动的，环绕天体以中心天体的球心为圆心做匀速圆周运动；环绕天体只受到中心天体的万有引力作用，这个引力提供环绕天体做圆周运动的向心力，即 F万＝F向．这是每年高考必考的内容，一般把万有引力定律和圆周运动结合起来进行考查，或与运动学以及新的前沿知识联系起来命题，若以选择题形式出题，题型会比较常见，若为计算题，或数学运算繁琐或几何关系较复杂，或综合性较强，物理背景比较新颖．
三、考点梳理
一、开普勒定律：
1．开普勒定律内容：（1）所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上；（2）对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过相等的面积；（3）所有行星的轨道的半长轴R的三次方跟它的公转周期T的二次方的比值都相等．公式R3/T2=k.
2．理解：（1）此处常量k.仅决定于太阳质量，用特例（圆轨道卫星）容易推出其值与行星的质量无关，仅与中心星体的质量有关．
（2）所有的星体运动的轨道都是椭圆，平时为了研究问题的方便，近似看成圆，常把星体的运动按匀速圆周运动处理．
二、万有引力定律
1．内容：自然界中的任何两个物体都是相互吸引的，引力的大小跟这两个物体的质量m1和m2的乘积成正比，跟它们之间距离r的二次方成反比．
2．公式：，G引力常量，G的标准值为G=6.67259×10-11N·m2/kg2 ,通常取G= 6.67×10-11N·m2/kg2．m1, m2是两个物体的质量，r是两个质点之间的距离．
3．万有引力定律适用的条件
严格地说，万有引力定律只适用于质点间的相互作用．
两个质量分布均匀的球体间相互作用，可用万有引力定律计算，r是两个质点之间的距离是两个球球心间的距离．
两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，公式也近似适用，r是两个物体质心之间的距离．
4．对万有引力定律的理解：
（1）普适性 ：万有引力是普遍存在宇宙中任何两个有质量的物体间的相互吸引力，它是自然界中的基本相互作用之一．万有引力常量也具有普适性．卡文迪许通过扭秤装置测得G=6.67×10-11N·m2／kg2，它是一个仅和m、r、F单位选择有关，而与物体性质无关的恒量．
（2）相互性： 两个物体相互作用的引力是一对作用力和反作用力，他们大小相等，方向相反，分别作用在两个物体上．
（3）宏观性： 一般物体间的万有引力非常小，只有质量巨大的星球间或天体与附近的物体间，它的存在才有宏观的物理意义．在微观世界中，粒子的质量都非常小，万有引力可以忽略不计．
万有引力定律的发现，把地面上物体和天体的运动规律统一起来，打破了天体运动的神秘论，增强了人们认识自然、认识宇宙的信心．
三、人造地球卫星和宇宙速度
1．万有引力完全用于提供人造地球卫星绕地球圆周运动的向心力, 解决人造地球卫星有关问题关键是，把万有引力定律与匀速圆周运动规律有机地结合起来，即：
说明：近地卫星受到的万有引力完全用于提供人造地球卫星绕地球圆周运动的向心力，因此所有人造地球卫星的轨道圆心都必定在地心．按匀速圆周运动处理．在卫星环绕地球近似做匀速圆周运动的过程中，卫星内物体处于完全失重状态．
2．宇宙速度：（1）第一宇宙速度：v=7.9km/s ,是人造地球卫星环绕地球运行的最大速度，也是人造地球卫星的最小发射速度．第一宇宙速度又叫环绕速度．
说明：“环绕速度”与“发射速度”不同．卫星环绕地球运动时所需的向心力等于地球对卫星的万有引力，即：
从上式可知，卫星的环绕地球的速度v，跟圆周轨道半径r的平方根成反比，也就是离开地心越远，环绕速度就越小．用火箭把卫星送入高空，沿途必须克服地球引力做功，更多消耗一部分能量，理论计算表明，这些能量再加上卫星运转时所具有的能量，要比发射一个近地卫星需要的能量大得多．所以，第一宇宙速度7.9km／s是在地球表面发射人造地球卫星所需的最小“发射速度”，也是环绕地球做圆周运动的最大“环绕速度”．
（2）第二宇宙速度：v=11.2km/s,使物体挣脱地球引力束缚的脱离速度．第二宇宙速度又叫脱离速度．
（3）第三宇宙速度：v=16.7km/s,使物体挣脱太阳引力束缚的逃逸速度．第三宇宙速度又叫逃逸速度．
3．地球同步卫星：它是相对地面静止的卫星，其运行周期为24h，它只能定位于赤道正上方．
四、经典实例（真题）
例1（2010年江苏高考第6题）、 2009年5月，航天飞机在完成对哈勃空间望远镜的维修任务后，在A点从圆形轨道Ⅰ进入椭圆轨道Ⅱ，B为轨道Ⅱ上的一点，如图所示．关于航天飞机的运动，下列说法中正确的是( )
A. 在轨道Ⅱ上经过A的速度小于经过B的速度
B. 在轨道Ⅱ上经过A的动能小于在轨道Ⅰ上经过A的动能
C. 在轨道Ⅱ上运动的周期小于在轨道Ⅰ上运动的周期
D. 在轨道Ⅱ上经过A的加速度小于在轨道Ⅰ上经过A的加速度
解析：考查万有引力中天体运动轨道物理量的特点．本题关键是一系列万有引力提供向心力的方程的运用能力．根据GMm/R2＝mv2/R可知A选项正确．轨道2上A点运动即将变轨速度要小于圆轨道1上通过A点的速度，可知B选项正确．根据GMm/R2＝m R(2π/T)2可知选项C正确．综上可知选项ABC正确．
例2（2012年江苏高考第8题）2011年8月，“嫦娥二号”成功进入了环绕“日地拉格朗日点”的轨道，我国成为世界上第三个造访该点的国家。如图所示，该拉格朗日点位于太阳和地球连线的延长线上，一飞行器处于该点，在几乎不消耗燃料的情况下与地球同步绕太阳做圆周运动．则此飞行器的
（A）线速度大于地球的线速度
（B）向心加速度大于地球的向心加速度
（C）向心力仅有太阳的引力提供
（D）向心力仅由地球的引力提供
解析：“拉格朗日点”与地球同步绕太阳做圆周运动，即角速度相同，但“拉格朗日点”轨道半径较大，由可知：线速度大于地球的线速度，由可知：向心加速度大于地球，所以A、B正确。“拉格朗日点”的向心力应来自于地球与太阳引力的合力提供，所以C、D均错误。综上可知选项AB正确．
例3、（2011年江苏高考第7题） 一行星绕恒星做圆周运动．由天文观测可得，其运行周期为T，速度为v，引力常量为G，则( )
A. 恒星的质量为 B. 行星的质量为
C. 行星运动的轨道半径为 D. 行星运动的加速度为
解析：由线速度公式可知：v＝，可得：R＝，所以C正确．由向心加速度公式可知：a＝＝ωv＝v，所以D正确．由万有引力和向心力公式可知：G＝ma＝mR可知：M＝，所以A正确．行星绕恒星运动与其自身质量无关，由已知无法求得行星质量，B错误．综上可知选项ACD正确．
五、三年感悟（方法突破）（规律总结）
1、天体表面重力加速度问题
设天体表面重力加速度为g，天体半径为R，因为物体在天体表面受到的重力近似等于受到的引力，所以有
同样可以推得在天体表面h重力加速度
重力加速度受纬度、高度、地球质量分布情况等多种因数影响，纬度越高，高度越小，重力加速度越大．
2、估算天体的质量和密度
把卫星（或行星）绕中心天体的运动看成是匀速圆周运动，由中心天体对卫星（或行星）的引力作为它绕中心天体的向心力．根据
得：
因此，只需测出卫星（或行星）的运动半径r和周期T，即可算出中心天体的质量M．
又由ρ=
可以求出中心星体的密度
3.解决天体运动的一般方法
我们在应用万有引力定律解决有关天体(行星或卫星)运动的问题时，首先要明确哪个是中心天体，哪个是环绕天体，明确研究的对象.然后将研究对象的运动建立理想化模型，即将天体运动近似成圆周运动.最后扣住两条思路：一是万有引力提供环绕天体的向心力；二是万有引力产生环绕天体距离中心天体某高度处的重力.具体可以表示如下：
(1)提供向心力：GMm/r2=ma→a= GM/r2
GMm/r2=mv2/r→v=
GMm/r2=mω2r→ω=
GMm/r2=m(2π/T)2r→T=2π；
4、能量问题及变轨道问题
只在万有引力作用下，卫星绕中心体转动机械能守恒.这里的机械能包括卫星的动能、卫星(与中心体)的引力势能．离中心星体近时速度大, 离中心星体远时速度小.
如果存在阻力或开动发动机等情况，机械能将发生变化，引起卫星转轨问题．发射人造卫星时，先将人造卫星发射至近地的圆周轨道上运动，然后经再次启动发动机使卫星改在椭圆轨道上运动，最后定点在一定高度的圆周轨道上运动．
三年模拟
A组题（3年经典基础题试题）
1、（扬州市2012届高三第一学期期末调研考试）2011年12月5日美国航天局宣布，科学家们利用“开普勒”太空望远镜在距地球约600光年的一个恒星系中新发现了一颗宜居行星，代号为“开普勒22b”，它也是迄今发现的最小且最适于表面存在液态水的行星．假设其半径约为地球的a倍，质量为地球的b倍，则该行星表面由引力产生的加速度g′与地球表面的重力加速度g的比值为( )
A. B. C. D.
2、（盐城市2012届高三摸底考试）2011年8月12日，我国在西昌卫星发射中心，将巴基斯坦通信卫星1R(Paksat1R)成功送入地球同步轨道，发射任务获得圆满成功．关于成功定点后的“1R”卫星，下列说法正确的是( )
A. 运行速度大于第一宇宙速度，小于第二宇宙速度
B. 离地面的高度一定，相对地面保持静止
C. 绕地球运动的周期比月球绕地球运行的周期大
D. 向心加速度与静止在赤道上物体的向心加速度大小相等
3、（无锡市2012届高三第一学期期末考试）“嫦娥二号”于2010年10月1日发射，其环月飞行的高度距离月球表面100 km，所探测到的有关月球的数据比环月飞行高度为200 km的“嫦娥一号”更加翔实．若两颗卫星环月运行均可视为匀速圆周运动，运行轨道如图所示，则( )
A. “嫦娥二号”环月运行的周期比“嫦娥一号”小
B. “嫦娥二号”环月运行时的线速度比“嫦娥一号”小
C. “嫦娥二号”环月运行时的角速度比“嫦娥一号”小
D. “嫦娥二号”环月运行时的向心加速度比“嫦娥一号”小
4、（镇江市2012届高三第一学期期末调研测试）“重力勘探”是应用地球表面某处重力加速度的异常来寻找矿床的一种技术．如图所示，若在地球表面A处正下方有一均匀分布且半径为R的球形矿床，球心与A相距r.矿床的密度为nρ(n＞1，ρ为地球的平均密度)，万有引力常量为G.则仅由于该矿床的存在，A处的重力加速度的变化量Δg为( )
A. Δg＝
B. Δg＝
C. Δg＝
D. Δg＝
5、（ ）美国宇航局2011年12月5日宣布，他们发现了太阳系外第一颗类似地球的、可适合居住的行星——“开普勒－22b”，它每290天环绕着一颗类似于太阳的恒星运转一周，距离地球约600光年，体积是地球的2.4倍．已知引力常量和地球表面的重力加速度．根据以上信息，下列推理中正确的是( )
A. 若能观测到该行星的轨道半径，可求出该行星所受的万有引力
B. 若已知该行星的密度和半径，可求出该行星的轨道半径
C. 根据地球的公转周期与轨道半径，可求出该行星的轨道半径
D. 若该行星的密度与地球的密度相等，可求出该行星表面的重力加速度
6、(常州市2012届高三第一学期期末调研考试)我国发射的“神舟八号”飞船与先期发射的“天宫一号”空间站实现了完美对接．已知“天宫一号”绕地球做圆轨道运动，轨道半径为r，周期为T，万有引力常量为G.假设沿椭圆轨道运动的“神舟八号”环绕地球的运动方向与“天宫一号”相同，远地点与“天宫一号”的圆轨道相切于某点P，并在该点附近实现对接，如图所示．则下列说法正确的是( )
A. 根据题设条件可以计算出地球对“天宫一号”的引力大小
B. 根据题中条件可以计算出地球的质量
C. 在远地点P处，“神舟八号”的加速度比“天宫一号”大
D. 要实现在远地点P处对接，“神舟八号”需在靠近P处之前点火减速
7、（苏北四市2012届高三第三次调研考试） 我国正在建设中的“北斗”卫星导航系统将由5颗地球同步卫星和30颗非同步卫星组成．已知有两颗同步轨道卫星A、B分别定点于赤道上东经80°和140°的上空，轨道半径为r.则关于A、B两颗卫星，下列说法正确的是( )
A. 两卫星内的物体都处于平衡状态
B. 两卫星运行的线速度相同
C. 这两颗卫星的信号可覆盖整个地球表面
D. 两卫星同地心的间距是固定的，大小为r
8、（苏锡常镇四市2012届高三教学调研测试二)某球状行星质量分布均匀、密度为ρ，当此行星自转周期为T时，其赤道上的物体恰能飘浮．球体的体积V与半径r的关系为V＝πr3，万有引力常量为G，则( )
A. T＝ B. T＝ C. T＝ D. T＝
9、（）2011年3月17日，人类首个绕水星运动的探测器“信使号”进入水星轨道，并发回首批照片．水星是最靠近太阳的行星，密度与地球近似相等，半径约为地球的.水星绕太阳一周需要88天．若将水星和地球的公转轨道看作圆形，地球表面的重力加速度g取9.8 m/s2，则( )
A. 水星表面的重力加速度约为3.7 m/s2
B. 水星表面发射卫星的第一宇宙速度约为3.0 km/s
C. 水星与地球连续两次距离最近的时间间隔为88天
D. 水星与地球连续两次距离最远的时间间隔为365天
10、（ ）随着世界航空事业的发展，深太空探测已逐渐成为各国关注的热点．假设深太空中有一颗外星球，质量是地球质量的2倍，半径是地球半径的.则下列判断正确的是( )
A. 该外星球的同步卫星周期一定小于地球同步卫星周期
B. 某物体在该外星球表面上所受重力是在地球表面上所受重力的8倍
C. 该外星球上第一宇宙速度是地球上第一宇宙速度的2倍
D. 绕该外星球的人造卫星和以相同轨道半径绕地球的人造卫星运行速度相同
11、（ ）2011年中俄将联合实施探测火星活动计划，由中国负责研制的“萤火一号”火星探测器将与俄罗斯研制的“福布斯—土壤”火星探测器一起，由俄罗斯“天顶”运载火箭发射前往火星．已知火星的质量约为地球质量的，火星的半径约为地球半径的，地球表面重力加速度为g.下列说法正确的是( )
A. 火星表面的重力加速度约为g
B. 探测器环绕火星运行的最大速度约为地球第一宇宙速度的倍
C. 探测器环绕火星运行时，其内部的仪器处于受力平衡状态
D. 探测器环绕火星运行时，其顶部一个螺钉脱落，该螺钉将自由下落
12、（淮安、宿迁、徐州、连云港2009—2010学,年度高三年级第一学期期末调研考试) 因“光纤之父”高锟的杰出贡献，早在1996年中国科学院紫金山天文台就将一颗于1981年12月3日发现的国际编号为“3463”的小行星命名为“高锟星”．假设高锟星为均匀的球体，其质量为地球质量的倍，半径为地球半径的倍，则“高锟星”表面的重力加速度是地球表面的重力加速度的( )
A. 倍 B. 倍 C. 倍 D. 倍
13、（泰州市2010年第一学期第一次联考）2007年11月，“嫦娥一号”绕月探测卫星完成轨道转移，卫星进入周期为T、距离月球表面高度为h的圆形工作轨道．已知月球表面的重力加速度为g′，引力常量为G，则根据以上数据不能求出的物理量是( )
A. 卫星的线速度 B. 卫星的质量
C. 月球的半径 D. 月球的质量
14、（无锡市2010届高三第一次模拟考试）银河系恒星中大约有四分之一是双星．某双星由质量不等的星球A和B组成，两星球在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点P做匀速圆周运动．已知A和B的质量分别为m1和m2，且m1∶m2＝2∶1，则( )
A. A，B两星球的角速度之比为2∶1
B. A，B两星球的线速度之比为2∶1
C. A，B两星球的半径之比为1∶2
D. A，B两星球的加速度之比为2∶1
15、（盐城市2010届高三第二次模拟考试）某同学为探月宇航员设计了如下实验：在月球表面以初速度v0水平抛出一个物体，测出该物体的竖直位移为h，水平位移为x.通过查阅资料知道月球的半径为R，引力常量为G.根据上述信息可求出的物理量是( )
A. 月球的第一宇宙速度 B. 物体与月球之间的引力
C. 月球表面的重力加速度 D. 月球和物体的质量
16、(苏、锡、常、镇四市2010届高三,第二次模拟考试) 2008年9月25日，我国成功发射了“神舟”七号载人飞船. 在飞船绕地球做匀速圆周运动的过程中，下列说法中正确的是( )
A. 已知飞船的运动轨道半径、周期和万有引力常量，就可以算出飞船的质量
B. 若地面观察站人员看到飞船内的物体悬浮在舱中，则物体不受力作用
C. 若在此轨道上有沿同一方向绕行的前后两艘飞船，则后一飞船不能用加速的方法与前一飞船对接
D. 舱中的宇航员所需要的向心力和飞船所需要的向心力相同
B组题（3年经典提升测试题）
17、（2010届南通第一次模拟考试）一些星球由于某种原因而发生收缩，假设该星球的直径缩小到原来的四分之一，若收缩时质量不变，不考虑星球自转的影响，则与收缩前相比( )
A. 同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的4倍
B. 同一物体在星球表面受到的重力增大到原来的2倍
C. 星球的第一宇宙速度增大到原来的4倍
D. 星球的第一宇宙速度增大到原来的2倍
18、（苏州市2010届高三调研测试）中国于2007年10月24日18时05分在西昌卫星发射中心用“长征三号”运载火箭成功发射了“嫦娥一号”月球卫星．卫星在地球轨道近地点上经历三次加速变轨后由地月转移轨道进入月球轨道，然后又在月球轨道近月点上经历三次近月制动，最后进入127 min工作轨道，如图所示．下列有关“嫦娥一号”月球卫星的说法中正确的是( )
A. 卫星在地球轨道上变轨后机械能增大
B. 卫星在地球轨道上变轨后运行周期变小
C. 卫星在月球轨道上变轨后机械能增大
D. 卫星在月球轨道上变轨后运行周期变小
19、(南京市2010届高三第三次模拟测试) 如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B，C两卫星轨道的交点．已知A，B，C绕地心运动的周期相同．相对于地心，下列说法中正确的是( )
A. 物体A和卫星C具有相同大小的加速度
B. 卫星C的运行速度大于物体A的速度
C. 可能出现在每天的某一时刻卫星B在A的正上方
D. 卫星B在P点的加速度与卫星C在P点的加速度相同
20、(徐州市2010届高三第三次模拟考试)2009年12月24日，美国的一个研究小组宣布，他们在蛇夫星座中发现一颗富含水份的行星——“GJ1214b”．“GJ1214b”距离地球约40光年，体积约为地球的2.7倍，质量约是地球的6.5倍，环绕着一颗比太阳小且温度低的红矮星运行，轨道半径为209万千米，公转周期为38 h．已知地球半径为6 400 km，地球表面的重力加速度g取9.8 m/s2，引力常量G取6.67×10－11 N·m2/kg2.由以上信息可估算出( )
A. 红矮星的质量 B. 红矮星的密度
C. “GJ1214b”行星的质量 D. “GJ1214b”行星的密度
21、（）太阳系外有一名为HD209458b的小行星，它的一年只有3.5个地球日. 这颗行星靠恒星很近并绕其运转，因此它的大气层不断被恒星风吹走．据科学家估计，这颗行星每秒丢失至少10000吨物质，最终这颗小行星将只剩下一个死核．假设该行星是以其球心为中心均匀减小的，且其绕恒星做匀速圆周运动，则下列说法正确的是( )
A. 该行星绕恒星运行周期会不断增大
B. 该行星绕恒星运行周期不变
C. 该行星绕恒星运行的速度大小会不断减小
D. 该行星绕恒星运行的线速度大小不变
22、（）2010年10月1日，我国第二颗探月卫星“嫦娥二号”成功发射，“嫦娥二号”最终进入距月面h＝200km的圆形工作轨道，开始进行科学探测活动，设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则下列说法正确的是( )
A. 嫦娥二号绕月球运行的周期为2π
B. 月球的平均密度为
C. 嫦娥二号在工作轨道上的绕行速度为
D. 在嫦娥二号的工作轨道处的重力加速度为2g
23、（南京市2012届高三学情调研测试）2011年6月21日，我国发射了“中星10号”地球同步通讯卫星，卫星的质量为5.22 t，下列说法中正确的是( )
A. 卫星可以定点在北京的正上方
B. 卫星运行的向心加速度小于地球表面的重力加速度
C. 卫星运行的速度比第一宇宙速度小
D. 卫星运行的角速度比月球绕地球运行的角速度小
24、（南通市2012届高三第一学期期末调研考试）已知甲、乙两行星的半径之比为b，环绕甲、乙两行星表面运行的卫星周期之比为c，则下列结论中正确的是( )
A. 甲、乙两行星表面卫星的角速度之比为c
B. 甲、乙两行星的质量之比为
C. 甲、乙两行星表面的重力加速度之比为
D. 甲、乙两行星的第一宇宙速度之比为
25、（南京市2012届高三第二次模拟考试）2011年11月3日凌晨，“神舟八号”飞船与“天宫一号”空间站成功对接．对接后，空间站在离地面三百多公里的轨道上绕地球做匀速圆周运动．现已测出其绕地球球心做匀速圆周运动的周期为T，已知地球半径为R，地球表面重力加速度为g，万有引力常量为G，则根据以上数据能够计算的物理量是( )
A. 地球的平均密度 B. 空间站所在处的重力加速度大小
C. 空间站绕行的线速度大小 D. 空间站所受的万有引力大小
26、（南京市、盐城市2012届高三第三次模拟考试）北京时间2012年2月25日凌晨0时12分，中国在西昌卫星发射中心用“长征三号丙”运载火箭，将第十一颗“北斗”导航卫星成功送入太空预定转移轨道，这是一颗地球静止轨道卫星．“北斗”导航卫星定位系统由静止轨道卫星(同步卫星)、中轨道卫星和倾斜同步卫星组成，中轨道卫星轨道半径约为27 900 km，静止轨道卫星轨道半径约为42 400 km( ≈0.53可供应用)．下列说法正确的是( )
A. 静止轨道卫星的向心加速度比中轨道卫星的向心加速度小
B. 静止轨道卫星和中轨道卫星的线速度均大于地球的第一宇宙速度
C. 中轨道卫星的周期约为12.7 h
D. 地球赤道上随地球自转物体的向心加速度比静止轨道卫星的向心加速度大
C组题（大题冲关）
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