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第2节电势与等势面

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第2节电势与等势面

　 1.电荷在电场中某点的电势能跟电荷量的比值，叫做该点的电势。

2．电场中某点的电势在数值上等于单位正电荷在该点所具有的电势能。

3．电场中各点电势的值可正、可负，可为零，既与产生电场的电荷有关，也与零电势位置的选择有关。

4．电场中电势相等的点构成的面叫做等势面。电场线和等势面垂直，且由电势较高的等势面指向电势较低的等势面。

电势

1．电势

(1)定义：电场中某点的电势就是电荷在该点的电势能与电荷量的比值。

(2)公式：φ＝Ep/q。

(3)单位：国际单位制中，电势的单位是伏特，符号是V,1 V＝1焦耳/库仑。

2．性质

(1)相对性：电场中各点电势的高低，与所选取的零参考点的位置有关，一般情况下取无穷远或地面为零势点位置。

(2)矢标性：电势是标量，只有大小，没有方向，但电势有正负。

1．电势高低的判断方法

(1)电场线法：顺着电场线方向电势逐渐降低。

(2)由电势和电势能的关系判断：由φA＝可知，在电场中某点，正电荷电势能越大，电势越高；负电荷电势能越大，电势越低。

(3)根据场源电荷判断：若以无穷远处电势为零，则正点电荷周围各点电势为正，且离正点电荷越近，电势越高；负点电荷周围各点电势为负，且离负点电荷越近，电势越低。

2．电势与电势能的比较

电势φ

电势能Ep

物理

意义

反映电场的能的性质的物理量

电荷在电场中某点所具有的电势能

大小

电场中某一点的电势φ的大小，只跟电场本身有关，跟点电荷q无关

电势能大小是由点电荷电荷量q和该点电势φ共同决定的

正负

电势沿电场线逐渐下降，选定零势能点后，某点的电势高于零者，为正值，电势低于零者，为负值

正点电荷：电势能的正负跟电势的正负相同；负点电荷：电势能的正负跟电势的正负相反

单位

伏特(V)

焦耳(J)

联系

Ep＝qφ　　W＝ΔEp＝qU

3.电势和电场强度的比较

电势φ

电场强度E

物理

意义

描述电场能的性质

描述电场力的性质

大小

电场中某点的电势等于该点与选取的标准位置(零势能点)间的电势差。φ＝，φ在数值上等于单位正电荷在电场中该点具有的电势能

(1)电场中某点的场强等于放在该点点电荷所受的电场力F跟点电荷电荷量q的比值

(2)E＝，E在数值上等于单位正电荷在该点所受到的静电力

矢标性

标量

矢量

单位

伏特(V)

牛/库(N/C)

关系

电势沿着电场强度的方向降低

说明

大小之间不存在任何关系，电势为零的点，场强不一定为零；电势高的地方，场强不一定大；场强为零的地方，电势不一定为零；场强大的地方，电势不一定高

1．下列关于电势高低的判断，正确的是(　　)

A．负电荷从A移到B时，电场力做正功，A点的电势一定较高

B．负电荷从A移到B时，电势能增加，A点电势一定较低

C．正电荷从A移到B时，电势能增加，A点电势一定较低

D．正电荷只在电场力作用下从A移到B，A点电势一定较高

解析：由A到B，电场力对负电荷做正功，说明负电荷逆着电场线运动，电势升高，即φB＞φA，A错；电势能增加，电场力做负功，负电荷应是顺着电场线运动，电势降低，即φA＞φB，B错；电势能增加，电场力做负功，正电荷应是逆着电场线运动，电势升高，即φB＞φA，C对；D项无法比较电势，故D错。

答案：C

等　势　面

1．等势面

(1)定义：电场中电势相等的点构成的面。

(2)特点：由于在等势面上电荷受到的电场力跟等势面垂直，所以电荷在同一个等势面上运动时电场力不做功。

2．几种常见电场的等势面

(1)点电荷电场的等势面，如图2－2－1中虚线所示。

(2)等量异种电荷的电场的等势面，如图2－2－2甲，过两点电荷连线中点的中垂面是一个等势面。

图2－2－2

(3)等量同种电荷的电场的等势面，如图2－2－2乙。

(4)匀强电场的等势面，是与电场线垂直的，间隔相等且相互平行的一簇平面，如图2－2－3所示。

图2－2－3

1．等势面的特点及其理解

(1)在同一等势面上的任意两点间移动电荷，电场力不做功。因为等势面上各点电势相等，电荷在同一等势面上各点具有相同的电势能，所以在同一等势面上移动电荷电势能不变，即电场力不做功。

(2)等势面一定跟电场线垂直，即跟场强的方向垂直。

假如不是这样，场强就有一个沿着等势面的分量，这样在等势面上移动电荷时电场力就要做功。但这是不可能的，因为在等势面上各点电势相等，沿着等势面移动电荷时电场力是不做功的。所以场强一定跟等势面垂直。

(3)沿着电场线方向电势越来越低。可见，电场线不但跟等势面垂直，而且是由电势较高的等势面指向电势较低的等势面。

(4)等势面不相交。

如果两个等势面相交，说明相交处的电场线有两条，即该处的电场强度方向有两个，这是不可能的，所以等势面不会相交。

2．等势面的应用

(1)利用等势面可以知道电场中各点的电势高低，可以形象地描述电场具有的能的性质。

(2)利用等势面可以描绘出电场线。

实际中，测量电势比测定电场强度更容易，所以常用等势面研究电场。先测绘出等势面的形状和分布，再根据电场线与等势面相互垂直绘出电场线分布，这样就知道了所研究的电场。

(3)等差等势面的疏密反映了电场强弱。

2．如图2－2－4所示，虚线a、b、c是电场中的三个等势面，相邻等势面间的电势差相同，实线为一个带正电的质点仅在电场力作用下，通过该区域的运动轨迹，P、Q是轨迹上的两点。下列说法中正确的是(　　) 图2－2－4

A．三个等势面中，等势面a的电势最高

B．带电质点一定是从P点向Q点运动

C．带电质点通过P点时的加速度比通过Q点时小

D．带电质点通过P点时的动能比通过Q点时小

解析：先画出电场线，再根据速度、合力和轨迹的关系，可以判定：质点在各点受的电场力方向是斜向左下方。由于是正电荷，所以电场线方向也沿电场力斜向左下方。

答案：D

尖端放电

1．定义

带电较多的导体，在尖端部位，场强大到使周围空气发生电离而引起放电的现象。

2．尖端放电的应用和防止

(1)应用：避雷针是利用尖端放电的原理来防止雷击的，它的作用是可以中和云层中的部分电荷，更主要的是把云层中的大量电荷引入地下。

(2)防止：尖端放电会导致高压设备上的电能的损失，所以高压设备中导体的表面做得尽可能地光滑。

避雷针的原理

雷雨天气里云层带电，有的云层靠地面很近，受其影响，地面带异种电荷，这些电荷主要分布在地表的尖端——高大物体上，如高大建筑物、大树等物体上，当电荷积累到足够多时，云层与建筑物间产生强烈的火花放电，这就是雷击，在建筑物上安装尖状的避雷针，可利用避雷针不断放电，避免电荷积累过多，避免雷击。

3．关于避雷针的下列说法中正确的是(　　)

A．制做避雷针要选用绝缘性能好的材料

B．避雷针避雷是将云层中积聚的电荷导入大地

C．为了美观通常把避雷针顶端设计成球形

D．避雷针安装在高大建筑物的顶端，而不必接地

解析：带电云层靠近建筑物时，会在建筑物上感应出异种电荷，在云层与建筑物之间形成电场。当电荷积累到一定程度时，会发生强烈放电现象，可能发生雷击。如果建筑物安装了避雷针，云层中积聚的电荷会通过避雷针导入大地，逐渐中和云层的电荷，保护建筑物，使其免遭雷击。避雷针应选用导体材料，所以选B。

答案：B

电势与等势面

[例1]　(2012·泉州高二检测)图2－2－5中K、L、M为静电场中的3个相距很近的等势面(K、M之间无电荷)。一带电粒子射入此静电场中后，沿ab cde轨迹运动。已知电势φK＜φL＜φM，且粒子在ab段做减速运动。下列说法中正确的是(　　)

图2－2－5

A．粒子带负电

B．粒子在bc段做加速运动

C．粒子在a点与e点的速度大小相等

D．粒子从c点到d点的过程中电场力做负功

[思路点拨]　电场线与等势面垂直，粗略画出电场线，由运动轨迹弯曲方向可知带电粒子受力方向，再分析电场力做功的正负，判断粒子的速度、动能及电势能的变化。

[解析]　由带电粒子的运动轨迹可知，粒子所受电场力指向轨迹的凹侧。画出过a、b、c、d、e各点的电场线，因φK＜φL＜φM，可知粒子带正电，选项A错误；粒子由b到c的过程中，电场力做负功，速率减小，选项B错误；由于a、e两点电势相等，粒子在a、e两点的电势能相等，由能量守恒定律知，粒子在a、e两点的动能相等，速度大小相等，选项C正确；粒子从c点到d点的过程中电场力做正功，选项D错误。

[答案]　C

借题发挥

(1)利用电场线与等势面垂直的特点，可以根据等势面的形状画出电场线，如果已知等势面电势的高低关系，可以确定电场线的方向。

(2)带电粒子做曲线运动时，运动轨迹总是弯向粒子受力的方向，从而可以根据运动轨迹的形状判断粒子受到的电场力的方向，进而可以得知电场力做功的情况及粒子的速度、动能和电势能的变化情况。

1．如图2－2－6所示，虚线为某个点电荷电场的等势面，现有两个带电粒子a、b(不计重力)，以相同的速率从同一点A出发，沿不同路径分别到达B、C点。根据图示情况可以得知下列判断错误的(　　)

图2－2－6

A．两个粒子电荷量一定相等

B．两个粒子的电性一定相反

C．粒子a的动能先减小后增大

D．经过B、C点时，两粒子速率相同

解析：粒子a受电场力作用有沿半径向外的加速度，电场力为斥力，粒子b受到电场的引力作用，粒子a的电性与点电荷相同，粒子b的电性与点电荷相反，B项正确。当电荷量不相等时，也可以出现图示情况，A项不正确。在电场中运动的粒子能量守恒，粒子的动能与电势能之和是常量。粒子a到达距O点最近的D点前，需克服电场力做功，动能减小，电势能增大，通过D点以后，粒子a在斥力作用下加速，动能增大而电势能减小，C项正确。B、C、A三点在同一等势面上，粒子a、b从A到达B、C，电势能不变，粒子的动能也不会变化，两粒子速率相同，D项正确。

答案：A

利用等势面画电场线

[例2]　如图2－2－7所示，虚线方框内为一匀强电场，A、B、C为该电场中的三个点。已知φA＝12 V，φB＝6 V，φC＝－6 V。试在该方框内作出该电场的示意图(即画出几条电场线)，并要求保留作图时所用的辅助线。图2－2－7

[思路点拨]　电场线跟等势面垂直，只要画出等势面，即可画出电场线。匀强电场中的电势分布特点：匀强电场沿任意方向电势均匀降低。

[解析]　题目中只要寻求电势相等的点即可确定等势面，因φB＝6 V，φC＝－6 V，由匀强电场的特点电势均匀分布知，在BC连线的中点O处的电势必为0；同理，在AC线段上找一个电势为0的点，把AC线段等分成三份，在等分点O′处的电势也必为0。连结OO′即为该电场中的一条等势线，根据电场线与等势线垂直，可以画出电场中的电场线，如图所示。

[答案]　见解析图

借题发挥

解决该类问题首先要研究已知点的电势，也就是研究电场的电势分布，看怎样连线、怎样细分这条连线上的电势，才能便于找到等电势点。这个问题解决了，后面的问题就水到渠成了。

2．ΔABC处于匀强电场中，如图2－2－8所示，将一个带电量为q＝－2×106C的点电荷从A移到B，电场力做功W1＝－1.2×105J；再将该点电荷从B移到C，电场力做功W2＝6×10－6J。已知A点的电势φA＝5 V，则B、C两点的电势分别为________ V和________V。试在图中画出通过A点的电场线。图2－2－8

解析：因为电荷从A移到B的过程中，电场力做功W1＝－1.2×10－5 J，所以从A到B电势能增加了1.2×10－5 J，故φB－φA＝＝－6 V，即φB＝－1 V。同理可得φC＝2 V。沿匀强电场中任意一条直线电势都是均匀变化的，因此AB中点D的电势与C点电势相同，CD为等势面，过A作CD的垂线必为电场线，方向从高电势指向低电势，所以斜向左下方，如图所示。

答案：见解析

[随堂基础巩固]

1．下列说法中正确的是(　　)

A．沿电场线的指向，场强一定越来越小

B．沿电场线的指向，电势一定越来越低

C．沿电场线方向移动电荷，电势能逐渐减小

D．在电场力作用下，正电荷一定从电势高处向电势低处移动

解析：沿电场线方向，电势降低；沿电场线方向移动正电荷，电场力做正功电势能减小；在电场力作用下，正电荷不一定从电势高的地方向电势低的地方移动，与其初速度的方向有关。

答案：B

2．在静电场中，关于场强和电势的说法中正确的是(　　)

A．电场强度大的地方电势一定高

B．电势为零的地方场强也一定为零

C．场强为零的地方电势也一定为零

D．场强大小相同的点电势不一定相同

解析：电场强度和电势没有必然联系，场强大的地方电势不一定高，电势高处的电场强度也不一定大。故选项D正确。

答案：D

3．如图2－2－9所示，在矩形AB CD的AD边和BC边中点M和N各放一个电荷，它们带等量正、负电荷。E、F分别是AB边和CD边中点，P、Q两点在MN连线上，＝，则电场强度和电势都相同的两点是(　　) 图2－2－9

A．E和F　　　　　　　 B．P和Q

C．A和B D．C和D

解析：由等量异种电荷的规律特点知E、F两点的电场强度和电势都相同；P、Q两点的电场强度相同，但P点的电势比Q点的高；A、B两点的电场强度的大小相等，但方向不同，A点的电势为正，B点的电势为负，A点的电势高于B点；C、D两点情况与A、B两点相同。

答案：A

4．如果把q＝1.0×10－8 C的电荷从无穷远移到电场中的A点，需要克服静电力做功W＝1.2×10－4 J。

(1)q在A点的电势能和A点的电势各是多少？

(2)q移入电场前A点的电势是多少？

解析：(1)静电力做负功，电势能增加，无穷远处的电势为零，电荷在无穷远处的电势能也为零，电势能的变化量等于静电力做的功，W＝EpA－Ep∞。

所以EpA＝W＝1.2×10－4 J，

φA＝＝ V＝1.2×104 V。

(2)A点的电势是由电场本身决定的，跟A点是否有电荷存在无关，所以q移入电场前，A点的电势仍为1.2×104 V。

答案：(1)1.2×10－4 J　1.2×104 V

(2)1.2×104 V

[课时跟踪训练]

(满分50分　时间30分钟)

一、选择题(本题共8小题，每小题4分，共32分)

1．下列说法中正确的是(　　)

A．在同一等势面上移动电荷，电场力不做功

B．等势面上各点场强大小一定相等

C．电场中电势高处，电荷的电势能就大

D．电场中电场强度大处，电荷的电势能就大

解析：等势面上各点的电势相等，所以在同一等势面上移动电荷，电场力不做功，选项A正确；场强大小与电势无关，选项B错误；电荷的电势能Ep＝qφ，除与电势有关外，还与电荷的带电量有关，选项C、D错误。

答案：A

2．雷雨天气，应谨防雷电，下列哪些做法是正确的(　　)

A．雷雨天气外出时，可以在孤立的高大建筑和大树下避雨

B．雷雨天气外出时，在空地上应立即蹲下，以免成为雷电的袭击目标

C．雷雨天气时，可以在户外打手机

D．在室内，如果听到打雷，应马上关好门窗，以防雷电进屋

解析：雷雨天气外出时，不要在孤立的高大建筑和大树下避雨，在空地上应立即蹲下，不要在户外打手机，避免发生雷击，故A、C错误，B正确；若在室内，应立即关好门窗，防止雷电进屋，D正确。

答案：BD

3．关于等势面的说法，正确的是(　　)

A．电荷在等势面上移动时不受电场力作用，所以不做功

B．等势面上各点的场强相等

C．点电荷在真空中形成的电场的等势面是以点电荷为球心的一簇球面

D．匀强电场中的等势面是相互平行的垂直电场线的一簇平面

解析：在等势面上移动电荷，电场力不做功并不是电荷不受电场力的作用，而是电场力和电荷的移动方向垂直，电场力做功为零，因此A项错误。等势面上各点的电势相等，但是场强是否相等则不一定，如在点电荷形成的电场中，等势面上各点的场强的大小相等，但是方向却不同，因此B项错误。根据所学各种等势面的分布情况可知，C、D两项是正确的。

答案：CD

4.如图1所示，三个同心圆是同一个点电荷周围的三个等势面，已知这三个圆的半径成等差数列。A、B、C分别是这三个等势面上的点，且这三点在同一条电场线上。A、C两点的电势依次为φA＝10 V和φC＝2 V，则B点的电势是(　　) 图1

A．一定等于6 V

B．一定低于6 V

C．一定高于6 V

D．无法确定

解析：三个圆的半径成等差数列，可以得出＝。而距点电荷越远的地方电势改变越来越小，电势降低越来越慢，即φA－φB＞φB－φC因此φB＜6 V。

答案：B

5．(2012·龙岩检测)如图2所示，a、b、c为电场中同一条水平方向的电场线上的三点，c为a、b的中点，a、b两点电势分别为φa＝5 V，φb＝3 V，则下列叙述中正确的是(　　)

图2

A．该电场中c点处的电势一定为4 V

B．a点处的场强Ea 一定大于b点处的场强Eb

C．正电荷从c点运动到b点电势能一定减少

D．正电荷在c点受到的电场力由c指向a

解析：如果是匀强电场，c点的电势等于4 V，如果是非匀强电场，c点的电势不一定等于4 V，选项A错误；因为只有一条电场线，所以无法判断a、b点场强的大小，选项B错误；沿电场线方向电势逐渐降低，所以电场线的方向为由a→b，正电荷从c点运动到b点的过程中，电场力做正功，电势能一定减少，选项C正确；正电荷在c点受到的电场力由c指向b，选项D错误。

答案：C

6.如图3所示，虚线a、b、c代表静电场中的三个等势面，它们的电势分别为φa、φb和φc，φa＞φb＞φc。一带正电的粒子射入电场中，其运动轨迹如图中实线所示，由图可知(　　)

A．粒子从K到L的过程中，电场力做负功图3

B．粒子从L到M的过程中，电场力做负功

C．粒子从K到L的过程中，电势能增加

D．粒子从L到M的过程中，动能减少

解析：由题图和φa、φb、φc关系可知，静电场是正点电荷产生的电场，当带正电的粒子从K到L的过程中，粒子受到库仑斥力的作用，它克服电场力做功，其动能减少，电势能增加，故A、C正确。当带正电的粒子从L到M的过程中，电场力做正动，粒子的动能增加，电势能减少，B、D错误。

答案：AC

7．如图4所示，实线为电场线，虚线为等势面，相邻两等势面间的电势差相等。一个正电荷在等势面L3处的动能为20 J，运动到L1处时动能为零；现取L2为零势能面，则当此电荷的电势能为4 J时，它的动能为(不计重力和空气阻力)(　　) 图4

A．16 J　　　　　　　　 B．10 J

C．6 J D．4 J

解析：只有电场力做功，电荷的动能和电势能的总量保持不变。正电荷在电场中只受电场力的作用，在L3时动能为20 J，运动到L2等势面时其动能一定是10 J。此时电势能为零，则此时正电荷动能和电势能总和为10 J，也表明电荷的总能量是10 J。当它的电势能为4 J时，动能一定为6 J，所以正确答案为C。

答案：C

8．图5中，实线表示一簇关于x轴对称的等势面，在轴上有A、B两点，则(　　)

A．A点的场强小于B点的场强图5

B．A点的场强方向指向x轴负方向

C．A点的场强大于B点的场强

D．A点的电势高于B点的电势

解析：由电场线与等势面的关系可知，电场线一定与等势面垂直，且从电势较高的等势面指向电势较低的等势面，作出相对应的电场线分布如图中虚线所示，则可知A、B两点处的场强方向应与x轴正方向同向，由电场线的疏密可知，A点的场强小于B点的场强。故选AD。

答案：AD

二、非选择题(本题共1小题，共10分)

9．(10分)如图6所示A、B、C为一匀强电场中的三个点，把一带电荷量q＝－1.0×10－8 C的电荷从无穷远处移到A点，克服电场力做功W1＝2.0×10－7 J。把它从A点移到B点，电场力做功W2＝1.0×10－7 J，再把它从B点移到C点，克服电场力做功W3＝1.0×10－7 J。以无穷远处为零势能点，试根据以上信息作出该匀强电场的示意图(即画出几条电场线)。图6

解析：根据电势的定义可求得A点的电势

φA＝＝＝ V＝－20 V

若将该电荷从无穷远处移到B点，电场力做功

W＝(－W1)＋W2＝－2.0×10－7 J＋1.0×10－7 J

＝－1.0×10－7 J

则B点的电势φB＝＝ V＝－10 V

若将该电荷从无穷远处移到C点，电场力做功

W′＝W＋(－W3)＝(－1.0×10－7－1.0×10－7) J

＝－2.0×10－7 J

则C点的电势为

φC＝＝ V＝－20 V

可见φA＝φC，即A、C两点在同一个等势面上，根据匀强电场的等势面的分布特点可作出如图所示的等势面的分布图(图中虚线所示)，再由电场线与等势面垂直以及A、B、C三点电势的大小关系，即可画电场线(图中实线所示)。

答案：见解析

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