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第3节　力的合成与分解

一、合力与分力

1．定义：如果一个力作用在物体上跟几个力共同作用在物体上产生的相同，这一个力就叫那几个力的，那几个力就叫这个力的．

2．合力和分力的关系：合力和分力是的关系．

3．共点力：几个力都作用在物体的，或者它们的相交于一点，这几个力叫做共点力.

效果

合力

分力

等效替代

同一点

作用线

二、力的合成与分解

1．力的合成：求几个力的的过程．

2．力的分解：求一个力的的过程．

力的分解与力的合成互为．

3．力的合成与分解运算法则

(1)平行四边形定则：求两个互成

角度的的合力，可以用

表示这两个力的线段为邻边作

，这两个邻边之间的对角线就表示合力的

和．

合力

分力

逆运算

共点力

平行四边形

大小

方向

(2)三角形定则：把两个矢量的

顺次连结起来，第一

个矢量的首端到第二个矢量的

尾端的为合矢量．如图所示.

4．合力和分力的大小关系

共点的两个力(F1、F2)的合力(F)的大小，与它们的夹角(θ)有关；θ越大，合力；θ越小，合力．F1与F2 时合力最大；F1与F2

时合力最小．

合力的取值范围为 ≤F≤ .

首尾

有向线段

越小

越大

同向

反向

|F1－F2|

F1＋F2

题型一：力的合成、合力大小计算

例1 两个共点力F1和F2间的夹角为θ，其合力大小为F，现保持θ角及F1的大小不变，将F2的大小增大为F2′，这时两共点力的合力大小变为F′，则以下关于F和F′的相对大小的说法中，正确的是(　　)

A．一定有F′>F B．可能有F′<F

C．可能有F′＝F D．以上说法都不正确

【思路点拨】题中夹角θ未确定，可从θ≤90°和θ＞90°两种情况下作出力的合成图进行讨论．

【解析】分力和合力的大小、方向关系遵循平行四边形定则，在本题中，由于不能确定两个分力间的夹角θ的具体大小，故可分三种情况讨论，如图所示．

由图 (甲)、(乙)可知当θ≤90°，分力F2增大时，合力一定增大，即有F ′＞F.

由图 (丙)可知，当θ＞90°，分力F2增大时，其合力先减小后增大．即可能有F′<F，F ′＝F，F ′>F.

【答案】BC

(3)夹角为120°的两等大的力的合成，如图所示．

由几何知识得出对角线将画出的平行四边形分为两个等边三角形，故合力与分力的大小相等．

题型二：力的分解时有几个解的问题

例2 把一个已知力分解为两个分力时，下面几种情况中，只能得到唯一解的是(　　)

A．已知两个分力的大小

B．已知两个分力的方向，并且两分力不在同一直线上

C．已知一个分力的大小和另一个分力的方向

D．已知一个分力的大小和方向

【思路点拨】抓住力的合成与分解的运算法则：平行四边形法则或三角形法则．注意力的矢量性，看合力与分力是否构成唯一的矢量三角形或平行四边形．

【解析】该题最容易犯的错误是错选A，导致这种错误的原因是对矢量的方向理解不深刻．错误地认为确定了三条边就能构成一个唯一确定的三角形，即只有唯一解．这样就把矢量与线段混淆了，从而导致了错误．已知两个不平行分力的大小(F1＋F2>F)．如图所示，分别以F的始端、末端为圆心，以F1、F2为半径作圆，两圆有两个交点，所以F分解为F1、F2有两种情况．

【答案】BD

【方法与知识感悟】将力进行分解时，就是以力F为对角线作平行四边形．按问题的需要进行分解，具体分以下三个方面：

存在极值的几种情况

(1)已知合力F和一个分力F1的方向，另一个分力F2存在最小值．

(2)已知合力F的方向和一个分力F1，另一个分力F2存在最小值．

题型三：力的分解在实际问题中的应用

例3 如图所示α＝30°，装置

的重力和摩擦力均不计，若用

F＝100 N的水平推力使滑块B

保持静止，则工件上受到的向

上的压力多大？

【思路点拨】弄清力的实际作用效果，确定两个分力的方向，再作出力的平行四边形，确定边角关系，最后由数学知识计算两分力的大小．

【方法与知识感悟】按力的作用效果分解力时，关键是明确力的作用效果，从而确定两个分力的方向，再根据平行四边形定则作出力的分解图，然后由数学知识求出分力．在实际问题中主要用到以下两种分解方法：

1. 按力的效果分解

(1)根据力的实际作用效果确定两个实际分力的方向．

(2)再根据两个实际分力方向画出平行四边形．

(3)最后由平行四边形知识求出两分力的大小．

2. 正交分解法

(1)定义：把一个力分解为相互垂直的两个分力的方法．

(2)优点：把物体所受的不同方向的各个力都分解到相互垂直的两个方向上去，然后再求每个方向上的分力的代数和，这样就把复杂的矢量运算转化成了简单的代数运算，最后再求两个互成90°角的力的合力就简便多了．

(3)运用正交分解法解题的步骤

①正确选择直角坐标系，通常选择共点力的作用点为坐标原点，直角坐标轴x、y的选择可按下列原则去确定：a.尽可能使更多的力落在坐标轴上．b.沿物体运动方向或加速度方向设置一个坐标轴．

②正交分解各力，即分别将各

力投影到坐标轴上，分别求x

轴和y轴上各力投影的合力Fx

和Fy，其中Fx＝F1x＋F2x＋F3x

＋…；Fy＝F1y＋F2y＋F3y＋….

③求Fx与Fy的合力即为共点力的合力(如图所示)

1．有两个互成角度的共点力，夹角为θ，它们的合力F随θ变化的关系如图所示，那么这两个力的大小分别是( )

A．1 N和6 N

B．2 N和5 N

C．3 N和4 N

D．3 N和3.5 N

【解析】当θ＝0时，F＝F1＋F2＝7 N，当θ＝π时，F ′＝F1－F2＝1 N，由以上两式解得F1＝4 N，F2＝3 N，故选C.

2．如图所示，物体静止于光滑水平

面M上，力F作用于物体的O点，

现要使物体沿着OO′方向做直线

运动(F与OO′方向都在M平面内)，必须同时再加一个力F′，这个力的最小值是( )

A．Ftanθ B．Fcotθ C．Fsinθ D．Fcosθ

【解析】由力的合成三角形法则可知，

从F的末端连一条有向线段至OO′上，

则该有向线段的长度即为F′的大小，

如图所示，F′与OO′垂直时最小，由几何知识可知Fmin′＝Fsinθ.

3．如图，用绳子一端系在汽车上，另一端系在等高的树干上，两端点间绳长10 m．用300 N的拉力把水平绳子的中点往下拉离原位置0.5 m，不考虑绳子的重力和绳子的伸长量，则绳子作用在汽车上的力的大小为( )

A．3000 N B．6000 N C．300 N D．1500 N

【夯实基础】

1．在以下关于分力和合力关系的叙述中，正确的是( )

A．合力和它的两个分力同时作用于物体上

B．合力的大小等于两个分力大小的代数和

C．合力的大小可能小于它的每一个分力

D．合力的大小可能等于某一个分力的大小

【解析】合力与分力是等效替代关系，两者不能同时考虑，故A错；合力与分力满足矢量运算法则：平行四边形法则或三角形法则，合力的大小可能大于、小于、等于它的每一个分力或某一个分力的大小，故B错，CD正确．

2．如图所示，静止在斜面上的

重物的重力可分解为沿斜面方

向向下的分力F1和垂直斜面方

向的分力F2.关于这两个分力，下列说法中正确的是( )

A．F1作用在物体上，F2作用在斜面上

B．F2的性质是弹力

C．F2就是物体对斜面的正压力

D．F1和F2是物体重力的等效替代，实际存在的就是重力

【解析】F1、F2仅是重力的两个分力，这两个力可以替代重力的效果，D选项正确. 物体对斜面的正压力跟F2大小相等、方向相同，但二者作用在不同物体上，不是同一个力，A、B、C错误.

3．物体受共点力F1、F2、F3作用而做匀速直线运动，则这三个力可能选取的数值为 ( )

A．15 N、10 N、6 N

B．3 N、6 N、4 N

C．1 N、2 N、10 N

D．1 N、6 N、8 N

【解析】物体在F1、F2、F3作用下而做匀速直线运动，则三个力的合力必定为零，只有A、B选项中的三个力的合力可以为零，故选AB.

4．如图所示，F1、F2、F3恰好构成封闭的直角三角形，这三个力的合力最大的是( )

【解析】由矢量合成法则可知A图的合力为2F3，B图的合力为0，C图的合力为2F2，D图的合力为2F3，因F2为直角三角形的斜边，故这三个力的合力最大的为C图．

【能力提升】

5．在2010年广州亚运会上，观众再一次欣赏到陈一冰在吊环动作中的精彩表演，其中有一个高难度的动作就是先双手撑住吊环，然后身体下移，双臂缓慢张开到如图所

示位置，则在两手之间的

距离增大的过程中，吊环的

两根绳的拉力FT，(两个拉

力大小相等)及它们的合力

F的大小变化情况为( )

A．FT增大，F不变 B．FT增大，F增大

C．FT增大，F减小 D．FT减小，F不变

【解析】由平衡条件，合力F等于人的重力，F恒定不变；当两手间距离变大时，绳的拉力的夹角逐渐变大，由平行四边形定则知，FT变大，A正确．

6．用一根长1 m的轻质细绳将

一副质量为1 kg的画框对称悬

挂在墙壁上，已知绳能承受

的最大张力为10 N．为使绳不断裂，画框上两个挂钉的间距最大为(g取10 m/s2)( )

A. m B. m C. m D. m

【解析】方法一：正交分解法

将O点受到的三个力沿水平和竖直

两个方向进行分解，如图甲所示，

分别在这两个方向上列出平衡方程得：

FAsin θ＋FBcos θ＝mg ①

FAcos θ＝FBsin θ ②

由①②式解得FA＝mgsin θ，

FB＝mgcos θ.

方法二：按力的实际作用效果进行分解

结点O受到的绳OC的拉力FC等于重物所受重力mg，拉力FC的作用效果是拉紧了绳AO和BO，故可将拉力FC沿绳AO和BO所在直线进行分解，两分力分别等于拉力FA和FB，由力的图示(图丙)解得FA＝mgsin θ，FB＝mgcos θ.

8．现在我国的汽车普及率较高，汽车上都配备如图所示的剪式千斤顶，司机遇

到爆胎自行换胎时，千斤顶发

挥了重要作用，当摇动手把时，

螺纹轴就能迫使千斤顶的两臂

靠拢，从而将汽车顶起．当车轮刚被顶起时汽车对千斤顶的压力为1.0×105 N，此时千斤顶两臂间的夹角为120°，则下列判断正确的是( )

A．此时两臂受到的压力大小均为5.0×104 N

B．此时千斤顶对汽车的支持力为2.0×105 N

C．若继续摇动手把将汽车顶起，两臂受到的压力将增大

D．若继续摇动手把将汽车顶起，两臂受到的压力将减小

【解析】把压力分解，得到此时两臂受到的压力大小均为1.0×105 N，由牛顿第三定律，千斤顶对汽车的支持力为1.0×105 N，若继续摇动手把，两臂间的夹角减小，而在合力不变时，两分力减小．综上可知D正确．

9．在电线杆的两侧常用钢丝绳把它固定在地上，如图所示．如果钢丝绳与地面的夹角∠A＝∠B＝60°，每条钢丝绳的拉力都是300 N，试求两根钢丝绳作用在电线杆上的合力.

【解析】(1)作图法：如图所示，

自O点引两条有向线段OC和OD，

夹角为60°.设定每单位长度表示

100 N，则OC和OD的长度都是3

个单位长度，作出平行四边形OCED，其对角线OE就表示两个拉力F1、F2的合力F，量得OE长为5.2个单位长度．所以合力F＝100×5.2 N＝520 N，用量角器量得∠COE＝∠DOE＝30°，所以合力方向竖直向下．

【开拓视野】

10．在医院里常用如图所示

装置对小腿受伤的病人进行

牵引治疗，其中a为动滑轮，

其他滑轮为定滑轮．不计滑轮的摩擦和绳子的质量，绳子下端所挂重物的质量是5 kg，问：

(1)病人的脚所受水平方向的牵引力是多大？

(2)病人的脚和腿所受的竖直向上的牵引力一共是多大？(g取10 m/s2)

【解析】因绳子中间各处与其他物体没有结点，所以绳子中间各处的张力(拉力)都等于所悬挂的重物的重力，即FT＝mg＝50 N，将ab段的绳子拉力沿水平方向和竖直方向分解，如图所示：F水平＝FTcos 30°＝43.3 N

F竖直＝FTsin 30°＝25 N

(1)由图知，病人的脚所受水

平方向的牵引力：

F牵＝FT＋F水平＝50 N＋43.3 N＝93.3 N.

(2)由图知，病人的脚和腿所受的竖直向上的牵引力：

F′牵＝FT＋F竖直＝50 N＋25 N＝75 N.

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