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质点的动动讲义

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第一讲质点的运动

一、知识地图

本章研究最简单、最基本的机械运动——直线运动．运用公式和图像两种数学工具研究物体的位移、速度等随时间变化的规律，是学习动力学的基础．

二、应考指要

对于直线运动知识点考查，一般较注重定性分析，单纯涉及这部分知识的考题大多是选择题和填空题，在综合题中每年都渗透着该部分内容，显示出该部分内容在力学中的特殊地位．在学习中要注意到以下几点：

1．要准确地掌握位移与路程、时间与时刻、平均速度与瞬时速度、速度与加速度的区别与联系，并能熟练地应用概念分析和描述质点的运动规律．

2．匀变速直线运动的特点是公式较多，在求解时应做到：(1)审清题意，分析运动过程，构建运动图景，并尽量画出草图；(2)明确题中己知及未知各量的关系，恰当选用规律；(3)若涉及多个过程，要分段分析，找准运动交接点．同时应注意s、v、a等矢量的符号规则和位移图像、速度图像的应用及题中隐含条件的挖掘等．逆向思维的应用有时会使解题更为简捷，应注意充分运用．如一个减速到零的匀减速运动可等效为一个反向的初速为零的匀加速直线运动．

3．对于自由落体运动，要用好用活初速为零这一条件，对于竖直上抛运动，要掌握好分段法和整体法，并注意其运动的对称性．这两种运动的共同特点是加速度始终恒定，故可充分利用各种比例关系求解．

三、好题精析

例1 甲、乙两车同时从同一地点出发，向同一方向沿直线运动中，甲以10ｍ/s的速度匀速行驶，乙以2m/s2的加速度由静止启动，求：

(1)经多长时间乙车追上甲车?此时甲、乙两车速度有何关系?

(2)追上前经多长时间两者相距最远?此时二者的速度有何关系?

〖解析〗(1)乙车追上甲车时，二者位移相同，设甲车位移为s１，乙车位移为s２，则

s１=s２，即v１t１＝at12/2

解得t１＝10ｓ，v２＝aｔ１＝20 m/s，因此v２＝2v１.

(2)设追上前二者之间的距离为Δs，则Δs = s１-s２ = v１t２－at22/2=10t2-t22

由数学知识知：当t = - 10/[2×(-1)]=5s时，两者相距最远

此时v2′= at2 = 10 m/s即v２′＝ v1。

〖点评〗象本题的追及问题，可以灵活应用数学知识求解，也可以利用物理知识分析求解；前一种方法求解简便，后一种方法物理意义、物理情景更明确，更清晰；第(2)问的最大距离亦可由速度图像分析求得。

例2 甲车以10米/秒，乙车以4米/秒的速率在同一直车道中同向前进，若甲车驾驶员在乙车后方距离d处发现乙车，立即踩刹车使其车获得－2米/秒2的加速度，为使两车不致相撞，d的值至少应为多少？

〖解析〗甲刹车后做匀减速运动，设经时间t二车速度相等且未相撞，则以后永不会相撞。由匀减速运动规律可知：vt = v－a t 4=10-2t，

解得：t =3s秒

在此时间内甲车前进的距离 d1 = (vt+v0)t/2=(10+4)×3/2=21m

乙车前进的距离为 d2 = v0t=4×3=12m

可见d≥21-12=9m即不会相撞。

〖点评〗本题中为使两车不致相撞不能简单地认为甲车的速度减为零时是否相碰，要注意分析两车的运动过程，注意它们间的距离的变化规律，从而考虑到要相碰必须满足的速度关系。

例3 有两个光滑固定斜面AB和BC，A和C两点在同一水平面上，斜面BC比斜面AB长（如图1-5-1所示），一个滑块自A点以速度vA上滑，到达B点时速度减小为零，紧接着沿BC滑下，设滑块从A点到C点的总时间是tc，那么如图1-5-2所示的四个图中，正确表示滑块速度的大小v随时间t变化规律的是

〖解析〗速度-时间图象中，直线的斜率表示匀变速直线运动的加速度，加速度越大，直线越陡，而物体从A经B到C的整个过程中，由于无阻力做功，故A、C两点处物体应具有相同的速率，故C不正确；AB和BC两段上平均速率相等，AB段比BC段运动时间短，故A不正确；又因为AB段加速度大于BC段，两段均作匀变速直线运动，AB段和BC段的速度图象为直线，故D不正确。所以本题应选B。

〖点评〗要理解图象的意义，根据图线描绘出物体的物理过程，才能正确地求解这类问题。

例4 如图1-5-3所示，A、B两棒均长l m，A悬于高处，B竖于地面．A的下端和B的上端相距s=10 m．若A、B两棒同时运动，A做自由落体运动，B以初速度 = 20m／s做竖直上抛运动，在运动过程中都保持竖直．问：

(1)两棒何时开始相遇?

(2)擦肩而过(不相碰)的时间?(取g=10 m／s2)．

〖解析〗(1)设经过时间 t 两棒开始相遇．A棒下落位移

①

B棒上升的位移

②

③

解①②③得

即从开始运动经0．5 s两棒开始相遇．

(2)以A棒为参照物，B相对A的加速度

故B棒相对A棒以=20 m／s

的速度做匀速直线运动，所以两棒从擦肩而过即相遇时间

〖点评〗解决相遇问题时，要注意等时性，注意总位移，有时运用相对速度求解会很方便。

例5 （2004年江苏省高考试题）如图1-5-4所示，声源S和观察者A都沿x轴正方向运动，相对于地面的速率分别为vS和vA．空气中声音传播的速率为vp．设vS<vp，vA<vp，空气相对于地面没有流动．

(1)若声源相继发出两个声信号，时间间隔为△t，．请根据发出的这两个声信号从声源传播到观察者的过程，确定观察者接收到这两个声信号的时间间隔△t'．

(2)请利用(1)的结果，推导此情形下观察者接收到的声波频率与声源发出的声波频率间的关系式．

图1-5-4

〖解析〗(1)如图1-5-5所示，设为声源S发出两个信号的时刻，为观察者接收到两个信号的时刻．则第一个信号经过时间被观察者A接收到，第二个信号经过时间被观察者A接收到．且

设声源发出第一个信号时，S、A两点间的距离为L，两个声信号从声源传播到观察者的过程中，它们运动的距离关系如图1-5-5所示．可得

①

②

由以上各式，得

③

(2)设声源发出声波的振动周期为T，这样，由以上结论，观察者接收到的声波振动

的周期T'为

④

由此可得，观察者接受到的声波频率与声源发出声波频率间的关系为

　　　　　　　　　　　　　⑤

〖点评〗有关匀速运动近几年高考考查较多，如宇宙膨胀速度、超声波测速等，物理知识极其简单，但对理解题意、建立模型的能力要求较高。解本题时，通过作图理解和表述运动过程最为关键。

四、变式迁移

1．石块A自塔顶自由落下m米时，石块B自离塔顶n米处自由下落，二石块同时着地，则塔高为( )．

变式迁移 1．B

2．两辆完全相同的汽车，沿水平直路一前一后匀速行驶，速度均为v0．若前车突然以恒定的加速度刹车，在它刚停住时，后车以前车刹车时的加速度开始刹车．已知前车在刹车过程中所行的距离为s0，若要保证两辆车在上述情况中不相撞，则两车在匀速行驶时保持的距离至少为多少？

2．2s0

五、本章习得

六、总结性测评

1．一个运动员在百米赛跑中，测得他在50m处的速度是6m/s，16s末到终点时的速度是7.5m/s，则全程内的平均速度的大小是（）

A．6m/s B．6.25m/s C．6.75m/s D．7.5m/s

能力突破 1．B

2．汽车在平直的公路上做加速度为0.5m/s2的匀加速运动，那么在任意1s内（）

A．汽车的末速度一定等于初速度的0.5倍

B．汽车的初速度一定比前1s内的末速度大0.5m/s

C．汽车的末速度比前1s内的初速度大0.5m/s

D．汽车的末速度一定比初速度大0.5m/s

2．D

3．关于物体的运动，下面说法中不可能的是（）

A．加速度在减小，速度在增加

B．加速度的方向始终变而速度不变

C．加速度和速度大小都在变化，加速度最大时速度最小，速度最大时加速度最小

D．加速度的方向不变而速度方向变化

3．B

4．甲、乙两小分队进行代号为“猎狐”的军事演习，指挥部通过现代通信设备，在荧屏上观察到小分队的行军路线如图1-5-6所示，小分队同时由同地O点出发，最后同时捕“狐”于A点，下列说法正确的有( )

A．小分队行军路程S甲＞S乙

B．小分队平均速度v甲=v乙

C．y—x图线是速度（v）—时间（t）图象

D．y—x图象是位移（S）—时间（t）图象

4．AB

5．质点从静止开始作匀加速直线运动，从开始运动起，通过连续三段路程所经历的时间分别为1s、2s、3s，这三段路程之比是（）

A．1:2:3 B．1:3:5 C．12:22:32 D．13:23:33

5．D

6．利用打点计时器测定物体做匀变速直线运动的加速度时，在纸带上打出一系列的点，如图1-5-7所示.设各相邻记数点之间的距离分别为s1、s2、s3、s4，相邻两记数点的时间间隔为T，则下列关系式中正确的是

A.s２－s１＝aT２

B.s4－s１＝3aT２

C.打点2时物体的速度为v2=(s2+s3)/2T

D．s1=aT2/2

6．ABC

7．作匀变速直线运动的物体先后经过A、B两点，在它们中间位置的速度为v1，在中间时刻的速度为v2，则（）

A．物体作加速运动时，v1>v2 B．物体作加速运动时，v2>v1

C．物体作减速运动时，v1>v2 D．物体作减速运动时，v2>v1

7．AC

8．A、B两质点的v－t图像如图1-5-8所示，设它们在同一条直线上运动，在t=3s时它们在中途相遇，由图可知（）

A．A比B先启程

B．A比B后启程

C．两质点启程前A在B前面4m

D．两质点启程前A在B后面2m

8．BC 9．C 10．C

11．小球的自由落体运动通过频闪照相的照片损坏，开始落下的部分被撕去。在损坏的照片上选相邻的三点a、b、c（g=10m/s2）ab间距10mm，bc间距14mm，频闪照相每幅相片的时间间隔 s（忽略爆光时间）b点的速度为 m/s，a点以上还应有几幅相片？幅。

11．1．0.02、0.6、2

12．相距12km的公路两端，甲、乙两人同时出发相向而行，甲的速度为5km/h，乙的速度为3m/h，有一小犬以6km/h同时由甲向乙跑，遇到乙后回头向甲跑，如此往复，直到甲、乙相遇，则此过程中犬的路程为 km。

12． 9

13．某质点从静止开始以加速度a1做匀加速直线运动，经t秒钟加速度大小立即变为a2，方向相反，再经t秒钟恰好回到原出发点，则a1、、a2的比值为。

13．1/3

14．（13分）一列火车做匀变速直线运动驶来，一人在火车旁观察火车的运动，发现相邻的两个10s内，列车从他跟前驶过8节车厢和6节车厢，每节车厢长8m，求：

（1）火车的加速度

（2）人开始观察时火车的速度大小。

14．-0.16m/s2、7.2m/s

15．（12分）如图1-5-9所示，在某市区，一辆小汽车在平直公路上向东匀速行驶，一位游客正由南向北从斑马线上横穿马路，司机发现前方有危险（游客在D处），经0.7s作出反应，紧急刹车，仍将正步行至B处的游客撞伤，汽车最终停在C处，为了解现场，警方派一警车以法定最高速度vm=14m/s，行驶在同一路段，在肇事汽车的起始制动点A紧急刹车，经14m后停下来，现测得AB=17.5m、BC=14m、BD=2.6m，问：（1）肇事汽车的初速度是多大？（2）游客横穿马路的速度是多大？

15．21m/s、1.53m/s

16．（13分）物体原来静止在光滑的水平面上，现在奇数秒内由于受恒力作用作2m/s2的匀加速直线运动，偶数秒内作匀速运动，经多长时间物体的位移达到40.25m。

16．8.5s

17．（14分）如图1-5-10所示，一辆实验小车可沿水平地面（图中纸面）上的长直轨道匀速向右运动，有一台发出细光束激光器装在上转台M上，到轨道的距离MN为d=10m，如图所示，转台匀速转动，使激光束在水平面内扫描，扫描一周的时间为T=60s，光束转动方向如图中箭头所示，当光束与MN的夹角为45o时，光束正好射到小车上，如果再经过△t=2.5s光束又射到小车上，则小车的速度为多少？（结果保留二位数字）

17．1.7m/s、2.9m/

18．（14分）如图1-5-11所示，AB、CO为互相垂直的丁字行公路，CB为一斜直小路，CB与CO成600角，CO间距300米，一逃犯骑着摩托车以54Km/h的速度正沿AB公路逃串。当逃犯途径路口O处时，守侯在C处的公安干警立即以1.2m/S2的加速度启动警车，警车所能达到的最大速度为120Km/h。公安干警沿COB路径追捕逃犯，则经过多长时间在何处能将逃犯截获？公安干警抄CB近路到达B处时，逃犯又以原速率掉头向相反方向逃串，公安干警则继续沿BA方向追捕，则经过多长时间在何处能将逃犯截获？（不考虑摩托车和警车转向的时间）

18．41.6s、624m；34.1s、444.6m

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