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第五章 曲线运动
5 向心加速度
1.下列关于向心加速度的说法中正确的是 ( ).
A.向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢
B.向心加速度表示角速度变化的快慢
C.向心加速度描述线速度方向变化的快慢
D.匀速圆周运动的向心加速度不变
解析 匀速圆周运动中速率不变,向心加速度只改变速度的方向,显然A项是错误的;匀速圆周运动的角速度是不变的,所以B项也是错误的;匀速圆周运动中速度的变化只表现为速度方向的变化,作为反映速度变化快慢的物理量,向心加速度只描述速度方向变化的快慢,所以C项正确;向心加速度的方向是变化的,所以D项也是错误的.
答案 C
2.关于匀速圆周运动,下列说法正确的是 ( ).
A.由an=知,匀速圆周运动的向心加速度恒定
B.向心加速度只改变线速度的方向,不改变线速度的大小
C.匀速圆周运动不属于匀速运动
D.向心加速度越大,物体速率变化越快
解析 加速度是矢量,且方向始终指向圆心,因此为变量,所以A错;由向心加速度的意义可知B对、D错;匀速运动是匀速直线运动的简称,匀速圆周运动其实是匀速率圆周运动,属于曲线运动,C正确.
答案 BC
3.如图5-5-12所示是自行车的轮盘与车轴上的飞轮之间的链条传动装置,P是轮盘上的一个齿,Q是飞轮上的一个齿.下列说法中正确的是 ( ).
图5-5-12
A.P、Q两点的角速度大小相等
B.P、Q两点的向心加速度大小相等
C.P点的向心加速度小于Q点的向心加速度
D.P点的向心加速度大于Q点的向心加速度
解析 P、Q两点的线速度大小相等,由a=知,选项C正确,其余选项均错误.
答案 C
4.一质点做匀速圆周运动,其线速度大小为4 m/s,转动周期为2 s,则下列说法错误的是 ( ).
A.角速度为0.5 rad/s B.转速为0.5 r/s
C.轨迹半径为 m D.加速度大小为4π m/s2
解析 角速度为ω==π rad/s,A错误;转速为n==0.5 r/s,B正确;半径r== m,C正确;向心加速度大小为an==4π m/s2,D正确.
答案 A
5.如图5-5-13所示,压路机大轮的半径R是小轮半径r的2倍,压路机匀速行驶时,大轮边缘上A点的向心加速度为0.12 m/s2,那么小轮边缘上B点的向心加速度为多大?大轮上距轴心的距离为的C点的向心加速度为多大?
图5-5-13
解析 压路机匀速行驶时,vB=vA,由a=,得==2
得aB=2aA=0.24 m/s2
又ωA=ωC,由a=ω2r,得==
得aC=aA=0.04 m/s2.
答案 0.24 m/s2 0.04 m/s2
6.Maloof Money Cup是全球最大的滑板赛事,于2011年9月在南非举行.如图5-5-14所示,某滑板运动员恰好从B点进入半径为2 m的圆弧轨道,该圆弧轨道在C点与水平轨道相接,运动员滑到C点时的速度大小为10 m/s,求他到达C点前、后的瞬时加速度(不计各种阻力).
图5-5-14
解析 运动员经圆弧滑到C点前做圆周运动.因为不计各种阻力,故经过C点之前的瞬间运动员只在竖直方向上受力,只有向心加速度.由an=得运动员到达C点前的瞬时加速度
a1=m/s2=50 m/s2,方向竖直向上
运动员滑过C点后,进入水平轨道做匀速直线运动,故加速度a2=0.
答案 50 m/s2,方向竖直向上 0
7.物体做半径为R的匀速圆周运动,它的向心加速度、角速度、线速度和周期分别为a、ω、v和T,则下列关系式正确的是 ( ).
A.ω= B.v=aR C.a=ωv D.T=2π
解析 由a=Rω2,v=Rω可得ω= ,v=,a=ωv,即A、B错误,C正确;又由T=与ω= 得T=2π,即D正确.
答案 CD
8.a、b两辆玩具车在各自的圆轨道上做匀速圆周运动,在相同的时间内,它们通过的路程之比为3∶4,转过的角度之比为2∶3,则它们的向心加速度大小之比为 ( ).
A.2∶1 B.1∶2 C.9∶16 D.4∶9
解析 a、b两玩具车的线速度之比va∶vb=sa∶sb=3∶4,角速度之比ωa∶ωb=θa∶θb=2∶3,故它们的向心加速度之比aa∶ab=vaωa∶vbωb=1∶2,B正确.
答案 B
9.一小球被细绳拴着,在水平面内做半径为R的匀速圆周运动,向心加速度为an,那么 ( ).
A.角速度ω=
B.时间t内通过的路程为s=t
C.周期T=
D.时间t内可能发生的最大位移为2R
解析 由an=ω2r,得ω==,A正确;由an=,得线速度v==,所以时间t内通过的路程为s=vt=t ,B正确;由an=ω2r=r,得T=2π=2π,C错误;对于做圆周运动的物体而言,位移大小即为圆周上两点间的距离,最大值为2R,D正确.
答案 ABD
10.如图5-5-15所示,A、B为咬合传动的两齿轮,RA=2RB,则A、B两轮边缘上两点的关系正确的是 ( ).
图5-5-15
A.角速度之比为2∶1
B.向心加速度之比为1∶2
C.周期之比为1∶2
D.转速之比为2∶1
解析 两轮边缘线速度相同,RA=2RB
由ω=知,ωA=ωB,ωA∶ωB=1∶2由a=知,a∝,故aA∶aB=1∶2
由T=知,TA∶TB=2∶1
由于TA∶TB=2∶1,所以转速之比为1∶2.
答案 B
11.两个小球固定在一根长为L的杆的两端,绕杆的O点做圆周运动,如图5-5-16所示,当小球1的速度为v1时,小球2的速度为v2,则O点到小球2的距离是 ( ).
图5-5-16
A. B.
C. D.
解析 两小球角速度相等,即ω1=ω2,设两球到O点的距离分别为r1、r2,即=,又由于r1+r2=L,所以r2=,故选B.
答案 B
12.如图5-5-17所示,一半径为R的球体绕轴O1O2以角速度ω匀速转动,A、B为球体上两点.下列说法中正确的是 ( ).
图5-5-17
A.A、B两点具有相同的角速度
B.A、B两点具有相同的线速度
C.A、B两点具有相同的向心加速度
D.A、B两点的向心加速度方向都指向球心
解析 A、B两点随球体一起绕轴O1O2转动,转一周所用的时间相等,故角速度相等,有ωA=ωB=ω,选项A正确.A点做圆周运动的平面与轴O1O2垂直,交点为圆心,故A点做圆周运动的半径为rA=Rsin 60°;同理,B点做圆周运动的半径为rB=Rsin 30°,所以A、B两点的线速度分别为:vA=rAω=Rω,vB=rBω=Rω,显然vA>vB,选项B错误.A、B两点的向心加速度分别为:aA=rAω2=Rω2,aB=rBω2=Rω2,显然,A、B两点的向心加速度不相等,且它们的向心加速度方向指向各自的圆心,并不指向球心,故选项C、D错误.
答案 A
13.如图5-5-18所示,定滑轮的半径r=2 cm.绕在滑轮上的细线悬挂着一个重物,由静止开始释放,测得重物以加速度a=2 m/s2向下做匀加速运动.在重物由静止下落1 m的瞬间,滑轮边缘上P点的角速度ω=________rad/s,向心加速度an=________m/s2.
图5-5-18
解析 由v2=2ah得重物下落1 m的速度v= m/s=2 m/s,P点线速度vP=v=2 m/s,由vP=ωr知角速度ω==rad/s=100 rad/s.an=ω2r=1002×2×10-2m/s2=200 m/s2.
答案 100 200
14.如图5-5-19所示,甲、乙两物体自同一水平线上同时开始运动,甲沿顺时针方向做匀速圆周运动,圆半径为R;乙做自由落体运动,当乙下落至A点时,甲恰好第一次运动到最高点B,求甲物体匀速圆周运动的向心加速度的大小.
图5-5-19
解析 设乙下落到A点所用时间为t,
则对乙,满足R=gt2,得t= ,
这段时间内甲运动了T,即
T= ①
又由于a=Rω2=R②
由①②得,a=π2g.
答案 π2g
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