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带电粒子在扇形有界磁场中运动
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上传时间: 2014-08-23
上传者: admin
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【例】如图a所示，在xOy平面内，许多质量为m、电荷量为e的电子从坐标原点O不断地以相同的速率v0沿不同方向射入第一象限。若第一象限存在垂直于xoy平面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，使得所有电子穿过
磁场区域后都能平行于x轴并指
向x轴正方向。试求符合该条件
磁场的最小面积Smin。
八、带电粒子在扇形有界磁场中运动
粒子在扇形磁场中运动
磁场区域的极值问题
(旋转动态圆法)
解析：如图，电子以一定速率从原点沿任意方向射入
第一象限，速度沿+y方向的电子，其运动轨迹是圆心
在x轴上的P1点，半径R= 的圆，电子沿圆弧OP运动
至P点时速度恰沿x轴正方向，这四分之一圆弧OP就是
符合条件的磁场上边界，其圆方程为(x-R)2+y2=R2；
若设与x轴成任意角α (90°>α>0)射入的电子转过一段较短圆弧OQ(圆心为P2)，Q点的坐
标满足x=Rsinα，y=R-Rcosα，则
x2+(y-R)2=R2也是一个半径为R的圆，
也就是满足磁场下边界的圆。
O
x
y
v0
或用“平移法”将电子运动轨迹圆心由P1点开始，沿着“轨迹圆心圆”(图中的虚线圆)顺时针方向移动，如图b中P2、P3、P4，这些轨迹圆最高点的切线方向均平行于x轴并指向x轴正方向。
故可将“轨迹圆心圆”在第四象限对应的那一段虚线圆弧P1P2P3P4 向上平移半径R至OP两点，
正好是电子飞出点的连线，
即为磁场下边界。
上、下边界构成一个叶片形磁场区域，
如图b中阴影所示。
如图中阴影所示，叶片形磁场最小面积为四分之一圆的面积减去等腰直角三角形OPP1面积后的2倍，即
Smin=2×( πR2- R2)=
小结：向垂直于磁场的各个方向发射速率相同的带电粒子时，粒子运动轨迹是围绕发射点旋转的动态圆。
演练：电子质量为m、电荷量为e，从坐标原点o处沿xoy平面射入第一象限，射入时速度方向不同，速度大小均为v0，如图a所示。现在某一区域加方向垂直xoy平面向外的匀强磁场，磁感应强度为B，若这些电子穿过磁场后都能垂直射到与y轴平行的荧
光屏MN上，求：
(1) 荧光屏上光斑的长度；
(2) 所加磁场范围的最小面积。
粒子在圆形有界磁场中运动
面积的极值问题
解析：(1) 要求光斑长度，必须找到两个边界点。
(2)沿任一方向射入第一象限的电子经磁场偏转后都能垂直打到荧光屏MN上，需加最小面积磁场的边界是以O1(0，R)为圆心，半径为R的圆的一部分。
初速沿x轴正方向的电子，沿OB弧及 运动到P；
初速沿y轴正方向的电子，沿OC弧及 运动到P；
设粒子运动半径为R，得qv0B=m ，即R= ，
从图b中可看出 =R= ；
磁场范围最小面积
S= +R2- =( +1)( )2
如图b中阴影部分。
小结：带电粒子沿径向垂直射入圆形有界匀强磁场时必沿径向射出。根据题意正确画出轨迹图，结合数学知识进行分析是解决问题的有效途径。
祝同学们——
学 习 进 步
心 想 事 成
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