磁场对运动电荷的作用

1．洛伦兹力
磁场对运动电荷的作用力。
2．洛伦兹力的方向
(1)判断方法：

(2)方向特点：F⊥B，F⊥v。即F垂直于B和v决定的平面。(注意：B和v不一定垂直)。
3．洛伦兹力的大小[来源:学科网]
F＝qvBsin θ，θ为v与B的夹角，如图8－2－1所示。


图8－2－1
(1)v∥B时，θ＝0°或180°，洛伦兹力F＝0。
(2)v⊥B时，θ＝90°，洛伦兹力F＝qvB。
(3)v＝0时，洛伦兹力F＝0。


1．洛伦兹力和安培力的关系
洛伦兹力是单个运动电荷在磁场中受到的力，而安培力是导体中所有定向移动的自由电荷受到的洛伦兹力的宏观表现，洛伦兹力对运动电荷永不做功，而安培力对通电导线，可做正功，可做负功，也可不做功。
2．洛伦兹力方向的特点
(1)洛伦兹力的方向与电荷运动的方向和磁场方向都垂直，即洛伦兹力的方向总是垂直于运动电荷速度方向和磁场方向确定的平面。
(2)当电荷运动方向发生变化时，洛伦兹力的方向也随之变化。
(3)用左手定则判定负电荷在磁场中运动所受的洛伦兹力时，要注意将四指指向电荷运动的反方向。
3．洛伦兹力与电场力的比较
对应力
内容
比较项目
洛伦兹力
电场力

性质
磁场对在其中运动电荷的作用力
电场对放入其中电荷的作用力

产生条件
v≠0且v不与B平行
电场中的电荷一定受到电场力作用

大小
F＝qvB(v⊥B)
F＝qE

力方向与场方向的关系
一定是F⊥B，F⊥v，与电荷电性无关
正电荷与电场方向相同，负电荷与电场方向相反

做功情况
任何情况下
都不做功
可能做正功、负功，也可能不做功

力F为零时场的情况
F为零，B不一定为零
F为零，E一定为零

作用效果
只改变电荷运动的速度方向，不改变速度大小
既可以改变电荷运动的速度大小，也可以改变电荷运动的方向



1．以下说法正确的是(　　)
A．电荷处于电场中一定受到电场力
B．运动电荷在磁场中一定受到洛伦兹力
C．洛伦兹力对运动电荷一定不做功
D．洛伦兹力可以改变运动电荷的速度方向和速度大小
解析：选AC　电荷处在电场中一定受到电场力作用，A正确；当运动电荷速度方向与磁场平行时不受洛伦兹力，B项错误；洛伦兹力与电荷运动速度时刻垂直不做功，只改变速度的方向，不改变速度的大小，C项正确，D项错误。


带电粒子在匀强磁场中的运动



(1)若v∥B，带电粒子不受洛伦兹力，在匀强磁场中做匀速直线运动。
(2)若v⊥B，带电粒子仅受洛伦兹力作用，在垂直于磁感线的平面内以入射速度v做匀速圆周运动。
①向心力由洛伦兹力提供：qvB＝；
②轨道半径公式：R＝；
③周期：T＝＝；(周期T与速度v、轨道半径R无关)
④频率：f＝＝；
⑤角速度：ω＝＝。


1．带电粒子在有理想边界的匀强磁场中的运动
带电粒子在有理想边界的匀强磁场中做匀速圆周运动，其运动规律是洛伦兹力做向心力，解题的关键是画粒子运动的示意图，确定圆心、半径及圆心角。
(1)圆心的确定：
①已知入射点、出射点、入射方向和出射方向时，可通过入射点和出射点分别作垂直于入射方向和出射方向的直线，两条直线的
交点就是圆弧轨道的圆心(如图8－2－2甲所示，图中P为入射点，M为出射点)。


图8－2－2
②已知入射方向、入射点和出射点的位置时，可以通过入射点作入射方向的垂线，连接入射点和出射点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P为入射点，M为出射点)。
(2)半径的确定：
用几何知识求出半径大小。
(3)运动时间的确定：
①粒子在磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动的圆弧所对应的圆心角为α时，其运动时间为：
t＝T(或t＝T)；
②速度为v的粒子在磁场中运动的弧长为s时，其运动时间为：
t＝。
(4)常见的几种情形：
①直线边界：进出磁场具有对称性，如图8－2－3所示。


图8－2－3
②平行边界：存在临界条件，如图8－2－4所示。


图8－2－4
③圆形边界：沿径向射入必沿径向射出，如图8－2－5所示。


图8－2－5
(5)三步法解题：
①画轨迹：即确定圆心，用几何方法求半径并画出运动轨迹。
②找联系：轨道半径与磁感应强度、运动速度相联系，偏转角度与圆心角、入射方向、出射方向相联
系，在磁场中运动的时间与周期相联系。
③用规律：即牛顿第二定律和圆周运动的规律，特别是周期公式和半径公式。
2．带电粒子在匀强磁场中运动的多解问题


图8－2－6
(1)带电粒子电性不确定形成多解：受洛伦兹力作用的带电粒子，可能带正电，也可能带负电，在相同的初速度的条件下，正、负粒子在磁场中运动的轨迹不同，形成多解。如图8－2－6所示，带电粒子以速度v垂直进入匀强磁场，如果带正电，其轨迹为a；如果带负电，其轨迹为b。


图8－2－7
(2)磁场方向不确定形成多解：有些题目只
告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出磁感应强度的方向，此时必须考虑因磁感应强度方向不确定而形成的多解。如图8－2－7所示，带正电粒子以速率v垂直进入匀强磁场，如果B垂直于纸面向里，其轨迹为a；如果B垂直于纸面向外，其轨迹为b。


图8－2－8
(3)临界状态不唯一形成多解：带电粒子在洛伦兹力作用下飞越有界磁场时，由于粒子运动轨
迹是圆弧状，因此，它可能穿过去了，也可能转过180°从入射界面这边反向飞出，如图8－2－8所示，于是形成了多解。
(4)运动的周期性形成多解：带电粒子在磁场或部分是电场、部分是磁场的空间运动时，运动往往具有周期性，从而形成多解，如图8－2－9所示。


图8－2－9

2．长为L的水平极板间，有垂直纸面向内的匀强磁场，如图8－2－10所示，磁感应强度为B，板间距离也为L，板
不带电，现有质量为m、电荷量为q的带正电粒子(不计重力)，从左边极板间中点处垂直磁感线以速度v水平射入磁场，欲使粒子不打在极板上，可采用的办法是(　　)


图8－2－10
A．使粒子的速度v<BqL/4m
B．使粒子的速度v>5BqL/4m
C．使粒子的速度v>BqL/m
D．使粒子的速度BqL/4m<v<5BqL/4m
解析：选AB　欲使粒子不打在板上有两种办法：(1)使粒子从左边射出，r<即<，所以v<；(2)使粒子从右边射出，r>即>L，所以v>，故A、B正确，C、D错误。

对洛伦兹力的理解


[命题分析]　洛伦兹力公式在考纲中属Ⅱ级要求，常以选择题形式命题。
[例1]　带电荷量为＋q的粒子
在匀强磁场中运动，下面说法中正确的是(　　)
A．只要速度大小相同，所受洛伦兹力就相同
B．如果把＋q改为－q，且速度反向大小不变，则洛伦兹力的大小和方向均不变
C．洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，磁场方向一定与电荷运动方向垂直
D．粒子只受到洛伦兹力作用时，运动的速度、动能均不变
[解析]　带电粒子在磁场中所受的洛伦兹力，既与速度的大小有关，还与速度的方向有关，速度大小相同，洛伦兹力不一定相同，A错；由洛伦兹力公式及左手定
则可知B项正确；洛伦兹力方向一定与电荷速度方向垂直，但磁场方向与电荷运动方向不一定垂直，C项错误；粒子只受到洛伦兹力作用，动能不改变，但速度的方向要改变，D项错误。
[答案]　B
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?1?洛伦兹力的大小与磁场的强弱、电量的大小、速度的大小和速度方向与磁场方向的夹角都有关。
?2?洛伦兹力的方向用左手定则判断，与磁场方向、带电粒子的速度方向及带电粒子的电性都有关。
?3?洛伦兹力一定与运动方向垂直，始终不做功，不改变速度大小，只改变速度方向。
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 [变式训练]
　初速度为v0的电子，沿平行于通电长直导线的方向射出，直导线中电流方向与电子的初始运动方向如图8－2－11所示，则(　　)


图
8－2－11
A．电子将向右偏转，速率不变
B．电子将向左偏转，速率改变
C．电子将向左偏转，速率不变
D．电子将向右偏转，速率改变
解析：选A　由右手定则判定直线电流右侧磁场的方向垂直纸面向里
， 再根据左手定则判定电子所受洛伦兹力向右，所以电子向右偏，由于洛伦兹力不做功，电子动能不变，即速率不变。


带电粒子在匀强磁场中的运动


[命题分析]　本考点是历年高考的热点，特别是带电粒子在有界磁场中运动的临界问题，考查以综合计算为主，也有选择题出现。
[例2]　一足够长的矩形区域abcd内充满磁感应强度为B，方向垂直纸面向里的匀强磁场，矩形区域的左边界ad宽为L，现从ad中点O垂直于磁场射入一带电粒子，速度大小为v0方向与ad边夹角为30°，如图8－2－12所示。已知粒子的电荷量为q，质量为m(重力不计)。


图8－2－12
(1)若粒子带负电，且恰能从d点射出磁场，求v0的大小。
(2)若粒子带正电，使粒子能从ab边射出磁场，求v0的取值范围及粒子在磁场中运动的最长时间是多少？
[思维流程]
第一步：抓信息关键点[来源:学科网ZXXK]
关键
点
信息获取

(1)粒子带负电从d点射出
粒子向左下方偏转，Od为弦

(2)粒子带正电从ab射出
粒子向右上方偏转，画出两个临界圆

第二步：找解题突破口
当粒子带负电且从d点射出时，欲求v0则需确定圆心，画出圆求得半径；当粒子带正电时，画出与ab边、cd边相切的圆，求出半径范围，进而求出v0的取值范围。
第三步：条理作答
[解析]　 (1)若粒子带负电，且恰能从d点射出，如图所示θ＝30°
由几何关系得R＝     ①
又qv0B＝       ②
由①②得v0＝。
(2)若粒子带正电，由于磁场边界的限制，粒子从ab射出磁场时速度有一定范围。当v0有最小值v1时，粒子径迹恰与ab边相切；当v0有最大值v2时，粒子径迹恰与cd边相切。轨迹示意图见右图。
当v0有最小值v1时，有：R1＋R1sin 30°＝L，
由轨道半径公式R＝mv/qB，得：v1＝qBL/3m；
当v0有最大值v2时，有：R2＝R2sin 30°＋，
由轨道半径公式R＝mv/qB，得：v2＝qBL/m。
所以带电粒子从磁场中ab边射出时，其速度范围应为：
<v0<。
要使粒子在磁场中运动时间最长，其轨迹对应的圆心角应最大，当速度为v1时，粒子在磁场中运动时间最长，对应轨迹的圆心角为：θ＝π，则tmax＝·＝。
[答案]　(1)　(2)<v0<　
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?1?由入射点或出射点的速度方向可画出洛伦兹力所在的直线，它与入射点和出射点连接弦的中垂线的交点，即为圆心位置，从而画出圆轨迹。
?2?由几何知识解三角形，可求出半径r，进而由r＝可求出v?已知比荷及B?。
?3?运动时间可由t＝T，求出。其中θ为圆心角也就是粒子速度的偏转角；若已知弧长，则可由t＝求时间。
?4?粒子轨迹圆与边界相切时，是粒子能否射出边界的临界状态，求出此圆的半径可得到能否射出边界的速度大小。
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[互动探究]
(1)本例中所有带正电的粒子从ad边界射出时，在磁场中运动的时间有什么关系？
(2)若带正电粒子从边界cd射出，速度满足什么条件？在磁场中运动的时间范围是多少？
解析：(1)所有从ad边界射出的带正电的粒子，不论速度大小，在磁场中的轨迹圆心角皆为π，因此运动的时间相等，而且t＝·T＝T＝。
(2)如本例(2)问所解，带正电粒子若从cd边射出r＝>l，
即v0>，这些粒子在磁场中的偏角均小于60°，在磁场中的运动时间t<·T＝T＝。
答案：(1)都等于　(2)
v0>　t<


开“芯”技法——“对称法”在带电粒子圆周运动中的应用
1．“对称法”在单边界磁场中的应用
带电粒子进出单边界磁场具有对称性，入射点和出射点间连接弦的中垂线就是偏转轨迹的对称轴。具体应用如下：


2．对称法在双边界磁场中的应用
带电粒子在双边界磁场中运动时，会出现恰好射出或射不出的情况。此时，偏转轨迹与两边界或某一边界相切，运动具有对称性。粒子沿磁场边界射入时，对称轴为两边界的中垂线；粒子与磁场边界成某一角度射入时，对称轴为入射点和出射点间连接弦的中垂线。具体应用如下：



[示例1]　如图8－2－13所示，在x轴上方存在着垂直于纸面向里、磁感应强度为B的匀强磁场，一个不计重力的带电粒子从坐标原点O处以速度v进入磁场，粒子进入磁场时的速度方向垂直于磁场且与x轴正方向成120°角，若粒子穿过y轴正半轴后在磁场中到x轴的最大距离为a，则该粒子的比荷和所带电荷的电性分别是(　　)


图8－2－13
A.，正电荷　　　　　　　　  B.，正电荷
C.，负电荷        D.，负电荷
[解析]　粒子穿过y轴正半轴，由左手定则可判断粒子带负电。根据带电粒子在有界磁场中运动的对称性作出粒子在磁场中运动轨迹如图所示，由图中几何关系可得：
r＋rsin 30°＝a，解得r＝a。
由r＝得：＝。
[答案]　C
 [示例2]　如图8－2－14所示，虚线圆所围区域内有方向垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度为B。一束电子沿圆形区域的直径方向以速度v射入磁场，电子束经过磁场区后，其运动方向与原入射方向成θ角。设电子质量为m，电荷量为e，不计电子之间相互作用力及所受的重力，求：[来源:学科网]


图8－2－14
(1)电子在磁场中运动轨迹的
半径R；
(2)电子在磁场中运动的时间t；
(3)圆形磁场区域的半径r。
[审题指导]　电子对准圆心方向入射必定背离圆心离开磁场。
[解析]　(1)由牛顿第二定律和洛伦兹力公式得
evB＝
解得R＝。
(2)设电子做匀速圆周运动的
周期为T，
则T＝＝
由如图所示的几何关系得圆心角
α＝θ，
所以t＝T＝。
(3)由如图所示几何关系可知，
tan＝，
所以r＝tan。[来源:学科网ZXXK]
[答案]　(1)　(2)　(3)tan
[名师点评]　(1)带电粒子沿直线边界进入磁场，直线边界的一部分必为其轨迹
圆的一条弦，所以轨迹圆心必在弦的中垂线上，且轨迹关于中垂线对称；另外，从同一边界射入的带电粒子，从同一边界射出时，速度与边界的夹角相等。
(2)粒子沿半径方向进入有界圆形磁场区域时，根据对称性，射出磁场时的速度方向也一定沿着磁场圆的半径方向。
[变式训练]
　如图8－2－15所示，条形区域AA′、BB′中存在方向垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度B的大小为0.3 T，AA′、BB′为磁场边界，它们相互平行，条形区域的长度足够长，宽度d＝1 m。一束带正电的某种粒子从AA′上的O点以大小不同的速度沿着与AA′成60°角方向射入磁场，当粒子的速度小于某一值v0时，粒子在磁场区域内的运动时间t0＝4×10－8 s；当粒子速度为v1时，刚好垂直边界BB′射出磁场。取π＝3，不计粒子所受重力。求：


图8－2－15
(1)粒子的比荷；
(2)速度v0和v1的大小。
解析：(1)当粒子的速度小于某一值v0时，粒子不能从BB′离开磁场区域，只能从AA′边离开，无论粒子速度大小，在磁场中运动的时间都相同，轨迹如图所示(图中只画了一个粒子的轨迹)。
粒子在磁场区域内做圆周运动的圆心角均为φ1＝240°，运动时间t0＝T，
又T＝，解得≈3.3×108 C/kg
(2)当粒子速度为v0时，粒子在磁场内的运动轨迹刚好与BB′边界相切，此时有R0＋R0sin 30°＝d，又qv0B＝，得v0≈6.7×107 m/s
当粒子速度为v1时，刚好垂直边界BB′射出磁场区域，此时轨迹所对圆心角φ2＝30°，有R1sin 30°＝d，又qv1B＝，得v1＝2×108 m/s。
答案：(1)3.3×108 C/kg　(2)6.7×107 m/s　2×108 m/s