带电粒子在复合场中的运动
1．复合场与组合场
(1)复合场：电场、磁场、重力场共存，或其中某两场共存。
(2)组合场：电场与磁场各位于一定的区域内，并不重叠，或在同一区域，电场、磁场分时间段或分区域交替出现。
2．带电粒子在复合场中的常见运动
(1)静止或匀速直线运动：
当带电粒子在复合场中所受合外力为零时，将处于静止状态或匀速直线运动状态。
(2)匀速圆周运动：
当带电粒子所受的重力与电场力大小相等，方向相反时，带电粒子在洛伦兹力的作用下，在垂直于匀强磁场的平面内做匀速圆周运动。
(3)较复杂的曲线运动：
当带电粒子所受合外力的大小和方向均变化，且与初速度方向不在同一条直线上，粒子做非匀变速曲线运动，这时粒子运动轨迹既不是圆弧，也不是抛物线。
(4)分阶段运动：
带电粒子可能依次通过几个情况不同的复合场区域，其运动情况随区域发生变化，其运动过程由几种不同的运动阶段组成。


三种场力的特点

力的特点
功和能的特点

重力场
(1)大小G＝mg
(2)方向竖直向下
(1)重力做功和路径无关
(2)重力做功改变物体的重力势能，且WG＝－ΔEp

静电场
(1)大小：F＝Qe
(2)方向：正电荷受力方向与该点电场强度的方向相同(或负电荷受力的方向与该点电场强度的方向相反)
(1)电场力做功与路径无关
(2)电场力做功改变物体的电势能，且W电＝－ΔEp

磁场
(1)大小：F＝qvB
(2)方向：垂直于v和B决定的平面
洛伦兹力不做功


2．电偏转和磁偏转的比较

电偏转
磁偏转

受力特征
F电＝qE(恒力)
F洛＝qvB(变力)

运动性质
匀变速曲线运动
匀速圆周运动

运动轨迹





运动规律
类平抛运动
速度：vx＝v0，vy＝t
偏转角θ，tan θ＝
偏移距离y＝t2
匀速圆周运动
轨道半径r＝
周期T＝
偏转角θ＝ωt＝t
偏移距离y＝ltan 
＝r－

射出边界的速率
v＝ >v0

v＝v0

运动时间
t＝
t＝T

3.粒子重力是否考虑的三种情况
(1)对于微观粒子，如电子、质子、离子等，因为其重力一般情况下与电场力或磁场力相比太小，可以忽略；而对于一些实际物体，如带电小球、液滴、金属块等一般应当考虑其重力。
(2)在题目中有明确说明是否要考虑重力的，这种情况比较正规，也比较简单。
(3)不能直接判断是否要考虑重力的，在进行受力分析与运动分析时，要由分析结果确定是否要考虑重力。
4．带电粒子在复合场中运动问题的分析思路及方法
(1)认识粒子所在区域中场的组成，一般是电场、磁场、重力场中两个场或三个场的复合场。
(2)正确的受力分析是解题的基础，除了重力、弹力、摩擦力以外，特别要注意电场力和洛伦兹力的分析，不可遗漏任一个力。
(3)在正确的受力分析的基础上进行运动的分析，注意运动情况和受力情况的相互结合，特别要关注一些特殊的时刻所处的特殊状态(临界状态)。
(4)如果粒子在运动过程中经过不同的区域受力发生改变，应根据需要对过程分阶段处理。
(5)应用一些必要的数学知识，画出粒子的运动轨迹示意图，根据题目的条件和问题灵活选择不同的物理规律解题。
①当带电粒子在复合场中做匀速直线运动时，根据受力平衡列方程求解。
②当带电粒子在复合场
中做匀速圆周运动时，应用平衡条件牛顿定律结合圆周运动规律求解。
③当带电粒子做复杂曲线运动时，一般用动能定理或能量守恒定律求解。
(6)对于临界问题，注意挖掘隐含条件。[来源:Z|xx|k.Com]


　如图8－3－1所示，一带电小球在一正交电场、磁场区域里做匀速圆周运动，电场方向竖直向下，磁场方向垂直纸面向里，则下列说法正确的是(　　)


图8－3－1
A．小球一定带正电
B．小球一定带负电
C．小球的绕行方向为顺时针
D．改变小球的速度大小，小球将不做圆周运动
解析：选BC　带电小球做匀速圆周运动，重力电场力必平衡，电场力向上，小球带负电，A错，B正确；洛伦兹力充当问心力，结合左手定则知转动方向为顺时针方向，C正确，改变速度大小，小球做圆周运动的半径改变，D错。

带电粒子在组合场中的运动


[命题分析]　本考点为高考热点，考查学生对带电粒子在先后出现(或交替出现)的电磁场中的运动分析、性质判断及综合计算能力。
[例1]　(2013·山东高考)如图8－3－2甲所示，相隔一定距离的竖直边界两侧为相同的匀强磁场区，磁场方向垂直纸面向里，在边界上固定两长为L的平行金属极板MN和PQ，两极板中心各有一小孔S1、S2，两极板间电压的变化规律如图乙所示，正反向电压的大小均为U0，周期为T0。在t＝0时刻将一个质量为m、电量为－q(q>0)的粒子由S1静止释放，粒子在电场力的作用下向右运动，在t＝时刻通过S2垂直于边界进入右侧磁场区。(不计粒子重力，不考虑极板外的电场)
(1)求粒子到达S2时的速度大小v和极板间距d；
(2)为使粒子不与极板相撞，求磁感应强度的大小应满足的条件；
(3)若已保证了粒子未与极板相撞，为使粒子在t＝3T0时刻再次到达S2，且速度恰好为零，求该过程中粒子在磁场内运动的时间和磁感应强度的大小。


图8－3－2
[思维流程]
第一步：抓信息关键点
关键点
信息获取

(1)负粒子在时刻到达S2
一直加速

(2)粒子在磁场中不与极
板相碰
直径2R>

(3)粒子在3T0时刻再次到达S2且速度为零
最后在板间减速运动


第二步：找解题突破口[来源:Z#xx#k.Com]
要求粒子到达S2的速度，可由动能定理得到；根据粒子不与极板相碰，可确定在磁场中的半径满足的条件，进而求出B；求出粒子在板间及无场区运动时间，就可以知道在磁场中运动的时间，进而求出B的大小。
第三步：条理作答
[解析]　(1)粒子由S1至S2的过程，根据动能定理得
qU0＝mv2          ①
由①式得
v＝           ②
设粒子的加速度大小为a，由牛顿第二定律得
q＝ma          ③
由运动学公式得
d＝a()2         ④
联立③④式得
d＝         ⑤
(2)设磁感应强度大小为B，粒子在磁场中做匀速圆周运动的半径为R，由牛顿第二定律得
qvB＝m         ⑥
要使粒子在磁场中运动时不与极板相撞，须满足
2R>          ⑦
联立②⑥⑦式得
B<          ⑧
(3)设粒子在两边界之间无场区向左匀速运动的过程用时为t1，有
d＝vt1 
         ⑨
联立②⑤⑨式得
t1＝          ⑩
若粒子再次到达S2时速度恰好为零，粒子回到极板间应做匀减速运动，设匀减速运动的时间为t2，根据运动学公式得
d＝t2          ?
联立⑨⑩?式得
t2＝          ?
设粒子在磁场中运动的时间为t
t＝3T0－－t1－t2        ?
联立??式得
t＝          ?
设粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期为T，由⑥式结合运动学公式得
T＝          ?
由题意可知
T＝t           ?
联立???式得
B＝          ?
[答案]　(1) 　 　(2)B< 　(3)T0　
——
———
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带电粒子在组合场中运动，要分段处理，对匀强电场中的匀变速直线运动或类平抛运动，可由牛顿定律及运动学公式求解；对匀强磁场中的匀速圆周运动，要结合几何知识，确定圆心及半径，从而确定磁感应强度和圆心角?或时间?；确定从电场进入磁场的速度的大小、方向及两场交界处轨迹的几何关系，是解决问题的关键。
—————————
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[变式训练]
1．(2013·全国高考)如图8－3－3，与水平面成45°角的平面MN将空间分成 Ⅰ 和 Ⅱ 两个区域。一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子以速度v0从平面MN上的P0点水平向右射入 Ⅰ 区。粒子在 Ⅰ 区运动时，只受到大小不变、方向竖直向下的电场作用，电场强度大小为E；在 Ⅱ 区运动时，只受到匀强磁场的作用，磁感应强度大小为B，方向垂直于纸面向里。求粒子首次从 Ⅱ 区离开时到出发点P0的距离。粒子的重力可以忽略
。

[来源:Z,xx,k.Com]
图8－3－3
解析：带电粒子进入电场后，在电场力的作用下沿抛物线运动，其加速度方向竖直向下，设其大小为a，由牛顿运动定律得qE＝ma①
设经过时间t0，粒子从平面MN上的点P1进入磁场，由运动学公式和几何关系得
v0t0＝at        ②
粒子速度大小v1为
v1＝        ③
设速度方向与竖直方向的夹角为α，则
tan α＝          ④
此时粒子到出发点P0的距离为
s0＝ v0t0          ⑤
此后，粒子进入磁场，在洛伦兹力作用下做匀速圆周运动，圆周半径为
r1＝           ⑥
设粒子首次离开磁场的点为P2，弧所张的圆心角为2β，则P1到点P2距离为
s1＝2r1sin β          ⑦
由几何关系得
α＋β＝45°          ⑧
联立①②③④⑥⑦⑧式得
s1＝           ⑨
点P2与点P0相距
l＝s0＋s1           ⑩
联立①②⑤⑨⑩解得
l＝(＋)        ?
答案：(＋)


带电粒子在叠加场中的运动


[命题分析]　本考点是历年高考命题的热点，覆盖面大
，综合性强，难度大，能力要求高，以计算题呈现。
[例2]　(2013·重庆高考)有人设计了一种带电颗粒的速率分选装置，其原理如图8－3－4所示。两带电金属板间有匀强电场。方向竖直向上，其中PQNM矩形区域内还有方向垂直纸面向外的匀强磁场。一束比荷(电荷量与质量之比)均为的带正电颗粒，以不同的速率沿着磁场区域的水平中心线O′O进入两金属板之间，其中速率为v0的颗粒刚好从Q点处离开磁场，然后做匀速直线运动到达收集板。重力加速度为g，PQ＝3d，NQ＝2d，收集板与NQ的距离为l，不计颗粒间相互作用。求


图8－3－4
(1)电场强度E的大小；
(2)磁感应强度B的大小；
(3)速率为λv0(λ＞1)的颗粒打在收集板上的位置到O点的距离。
[解析]　(1)设带电颗粒的电荷量为q，质量为m。
颗粒离开Q后做匀速直线运动有，Eq＝mg
将＝代入，
得E＝kg
(2)如图1，有
qv0B
＝m
R2＝(3d)2＋(R－d)2
得B＝

　

(3)如图2所示，有qλv0B＝m
tan θ＝
y1＝R1－  
y2＝ltan  θ，y＝y1＋y2
得y＝d(5λ－)＋
[答案]　(1)kg　(2)
(3)d(5λ－)＋
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带电粒子在复合场中无约束情况下的运动,?1?磁场力、重力并存
①若重力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
②若重力和洛伦兹力不平衡，则带电体将做复杂的曲线运动，因F洛不做功，故机械能守恒，由此可求解问题。
?2?电场力、磁场力并存?不计重力的微观粒子?
①若电场力和洛伦兹力平衡，则带电体做匀速直线运动。
②若电场力和洛伦兹力不平衡，则带电体做复杂的曲线运动，因F洛不做功，可用动能定理求解问题。
?3?电场力、磁场力、重力并存
①若三力平衡，带电体一定做匀速直线运动。
②若重力与电场力平衡，带电体一定做匀速圆周运动。,③若合力不为零且与速度方向不垂直，带电体将做复杂的曲线运动，因F洛不做功，可用能量守恒定律或动能定理求解问题。
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[变式训练]
2.如图8－3－5所示，位于竖直平面内的坐标系xOy，在其第三象限空间有沿水平方向的、垂直于纸面向外的匀强磁场，磁感应强度大小为B，还有沿x轴负方向的匀强电场，场强大小为E，在其第一象限空间有沿y轴负方向的、场强为E′＝E的匀强电场，并在y>h区域有磁感应强度也为B的垂直于纸面向里的匀强磁场。一个电荷量为q的油滴从图中第三象限的P点得到一初速度，恰好能沿PO做匀速直线运动(PO与x轴负方向的夹角为θ＝37°)，并从原点O进入第一象限。(已知重力加速度为g，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)问：


图8－3－5
(1)油滴的电性；
(2)油滴在P点得到的初速度大小；
(3)油滴在第一象限运动的时间和离开第一象限处的坐标。
解析：(1)根据受力平衡，知油滴带负电。
(2)油滴受三个力作用，如图所示。从P到O沿直线必为匀速运动，设油滴质量为m
由平衡条件有qvBsin 37°＝qE
mgtan 37°＝qE
则v＝　m＝
(3)进入第一象限，静电力F′＝qE′＝qE
重力mg＝·g＝qE
知油滴先做匀速直线运动，进入y≥h的区域后作匀速圆
周运动，路径如图所示，最后从x轴上的N点离开第一象限。
由O→A匀速运动位移为x1＝＝
运动时间t1＝＝＝
由A→C的圆周运动时间为
t2＝T＝·＝
由对称性知从C→N的时间t3＝t1
在第一象限运动的总时间
t＝t1＋t2＋t3＝＋
由在磁场中的匀速圆周运动，有qvB＝
解得轨道半径r＝
图中的ON＝2(x1
cos 37°＋rsin 37°)＝h＋
即离开第一象限处N点的坐标为。
答案：(1)带负电　(2)
(3)＋　


带电体在复合场中有约束的运动


[命题分析]　该考点涉及的带电体受力复杂、运动过程多变，较好地考查学生的综合分析能力，以选择或计算题呈现。
[例3]　如图8－3－6所示，竖直平面xOy内存在水平向右的匀强电场，场强大小E＝10 N/C，在y≥0的区域内还存在垂直于坐标平面向里的匀强磁场，磁感应强度大小B＝0.5 T。一带电荷量为q＝＋0.2 C、质量m＝0.4 kg的小球由长l＝0.4 m的细线悬挂于P点，小球可视为质点，现将小球拉至水平位置A无初速度地释放，小球运动到悬点P正下方的坐标原点O时，悬线突然断裂，此后小球又恰好能通过O点正下方的N点。求：(g取10 m/s2)


图8－3－6
(1)小球运动到O点时的速度大小；
(2)悬线断裂前瞬间拉力的大小；
(3)ON间的距离。
[解析]　(1)小球从A运动到O点的过程中，根据动能定理：
mv2＝mgl－qEl
则小球在O点时的速度为v＝ ＝2 m/s。
(2)小球运动到O点绳子断裂前瞬间，对小球应用牛顿第二定律：
F向＝FT－mg－F洛＝m，
F洛＝Bvq，
由以上两式得：FT＝mg＋Bvq＋＝8.2 N。
(3)绳断后，小球水平方向加速度
ax＝＝＝5 m/s2。
根据绳断后小球在x方向运动的对称性知Δvx＝4 m/s
故小球从O点运动恰好运动至N点所用时间t＝＝0.8 s。
ON间距离h＝gt2＝3.2 m。
[答案]　(1)2 m/s　(2)8.2 N　(3)3.2 m
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带电粒子在复合场中有约束情况下的运动
(1)带电体在复合场中受轻杆、轻绳、圆环、轨道等约束的情况下，常见的运动形式有直线运动和圆周运动，此时解题要通过受力分析明确变力、恒力做功情况，并注意洛伦兹力不做功的特点，运用动能定理、能量守恒定律结合牛顿运动定律求解。
(2)由于带电粒子在复合场中受力情况复杂，运动情况多变，往往出现临界问题，这时应以题目中的“最大”“最高”“至少”“恰好”等词语为突破口，挖掘隐含条件，根据临界条件列出辅助方程，再与其他方程联立求解。
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[变式训练]
3．(2013·江西八校联考)如图8－3－7所示，在水平匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场中，
有一竖直足够长固定绝缘杆MN，小球P套在杆上，已知P的质量为m，电荷量为＋q，电场强度为E、磁感应强度为B，P与杆间的动摩擦因数为μ，重力加速度为g。小球由静止开始下滑直到稳定的过程中(　　)


图8－3－7
A．小球的加速度一直减小
B．小球的机械能和电势能的总和保持不变
C．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v＝
D．下滑加速度为最大加速度一半时的速度可能是v＝
解析：选CD　对小球受力分析如图所示，则mg－μ(Eq－qvB)＝ma，随着v的增加，小球加速度先增加，当Eq＝qvB时达到最大值amax＝g，继续运动，mg－μ(qvB－Eq)＝ma，随着v的增加，a逐渐减小，所以A错误；因为有摩擦力做功，机械能与电势能总和在减小，B错误；若在前半段达到最大加速度的一半，则mg－μ(Eq－qvB)＝m，得v＝，若在后半段达到最大加速度的一半，则mg－μ(qvB－Eq)＝m，得v＝，故C、D正确。


规范答题——带电粒子在交变场中的运动
带电粒子在交变场中的运动问题是高考的重点和热点，由于电场、磁场的不断交换，导致粒子的受力情况，运动情况不断变化，再加上板间距离的限制，就使得这类题目综合性强，能力要求高，难度大，容易失分。但只要抓住带电粒子在电场和磁场运动的特征，抓住电场和磁场变换时粒子受力情况的变化以及速度的关联，是不难解决的。
[示例]　(18分)两块足够大的平行金属极板水平放置，极板间加有空间分布均匀、大小随时间， 变化规律分别如图8－3－8甲、乙所示(规定垂直纸面向里为磁感应强度的正方向)。在的带　　　　　　　　　　　　　　　　
负电的粒子(不计重力)。若电场强度E0、磁感应强度B0、粒子的比荷均已知，且，
两板间距h＝。
　　　　　　　　　


图8－3－8
(1)求粒子在0～t0时间内的位移大小与极板间距h的比值；
(2)求粒子在极板间做圆周运动的最大半径(用h表示)；
(3)若板间电场强度E随时间的变化仍如图甲所示，磁场的变化改为如图丙所示，试画出粒子在板间运动的轨迹图(不必写计算过程)。
[答题流程]
1．审题干，抓关键信息
审题信息
获取信息

①
方波变化，有电无磁，有磁无电

②
由静止开始先在电场匀加速运动

③
电磁场交替出现的时间恰为粒子做一次完整圆周运动

2.审设问，找解题突破口
(1)粒子在0～t0时间内只在电场中做匀加速直线运动，可由牛顿定律及运动学公式求位移；
(2)受板间距离的限制，粒子在板间不能一直向前运动，做圆周运动的最大半径，对应着粒子第二段加速的末速度；
(3)若磁场变化改为图丙，则粒子运动半周即改变绕向。
3．巧迁移，调动有效信息
(1)确定研究对象―→带负电的粒子
　　　　

(2)受力分析(过程分析)―→
　　　　

(3)运用规律―→
4．规范解，条理作答
[解析]　(1)设粒子在0～t0时间内运动的位移大小为x1
x1＝at             ①(1)分
a＝             ②(1分)
又已知t0＝，h＝        ③(2分)
 列分步算式，步步为赢得满分
联立①②式解得：＝。
(2)粒子在t0～2t0时间内只受洛伦兹力作用，且速度与磁场方向垂直，所以粒子做匀速圆周运动，设运动速度大小为v1，轨道半径为R1，周期为T，则
v1＝at0             ④(1分)[来源:学*科*网]
 列原形式不可列变形式，否则不得分
qv1B0＝            ⑤(1分)
联立④⑤式得R1＝          ⑥(1分)
又T＝            ⑦(1分)[来源:Z。xx。k.Com]
即粒子在t0～2t0时间内恰好完成一个周期的圆周运动。在2t0～3t0时间内，粒子做初速度为v1的匀加速直线运动，设位移大小为x2
x2＝v1t0＋at     
      ⑧(1分)
解得x2＝h            ⑨(1分)
由于x1＋x2<h，所以粒子在3t0～4t0时间内继续做匀速圆周运动，设速度大小为v2，半径为R2
v2＝v1＋at0            ⑩(1分)
qv2B0＝            ?(1分)
解得R2＝            ?(1分)


由于x1＋x2＋R2<h，粒子恰好又完成一个周期的圆周运动。在4t0～5t0时间内，粒子运动到正极板(如图甲所示)。因此粒子运动的最大半径R2＝。(1分)
(3)粒子在板间运动的轨迹如图乙所示。(4分)
[答案]　(1)　(2)　(3)见解析
[名师点评]　交变的
电磁场问题，实际上就是按时间分立的电场和磁场，即有电场时无磁场，有磁场时无电场。处理带电粒子在这类场中的运动，关键是要熟悉带电粒子在电场和磁场中运动的特征，抓住电场和磁场交换时粒子受力情况的变化以及速度的关联。本题中粒子在电场中都是做匀加速直线运动，在磁场中都是做匀速圆周运动，需注意的是电场和磁场交换时间的限制以及两板间距离的限制。