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四川省雷波县民族中学高中物理第9章学案3 电磁感应中的电路与图象问题

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一、概念规律题组

图1

1．用均匀导线做成的正方形线框边长为0.2 m，正方形的一半放在垂直纸面向里的匀强磁场中，如图1所示．当磁场以10 T/s的变化率增强时，线框中a、b两点间的电势差是(　　)

A．Uab＝0.1 V

B．Uab＝－0.1 V

C．Uab＝0.2 V

D．Uab＝－0.2 V

图2

2．如图2所示，导体AB在做切割磁感线运动时，将产生一个感应电动势，设导体AB的电阻为r，导轨左端接有阻值为R的电阻，磁场磁感应强度为B，导轨宽为d，导体AB匀速运动，速度为v.下列说法正确的是(　　)

A．在本题中分析电路时，导体AB相当于电源，且A端为电源正极

B．UCD＝Bdv

C．C、D两点电势关系为：φC<φD

D．在AB中电流从B流向A，所以φB>φA

3．穿过闭合回路的磁通量Φ随时间t变化的图象分别如图3所示，下列关于回路中产生的感应电动势的论述，正确的是(　　)

图3

A．图①中，回路产生的感应电动势恒定不变[来源:]

B．图②中，回路产生的感应电动势一直在变大

C．图③中，回路在0～t1时间内产生的感应电动势小于在t1～t2时间内产生的感应电动势

D．图④中，回路产生的感应电动势先变小再变大

二、思想方法题组

4．粗细均匀的电阻丝围成的正方形线框置于有界匀强磁场中，磁场方向垂直于线框平面，其边界与正方形线框的边平行．现使线框以同样大小的速度沿四个不同方向平移出磁场，如下图所示，则在移出过程中线框的一边a、b两点间电势差绝对值最大的是(　　)

5．如图4甲所示，光滑导轨水平放置在斜向下且与水平方向夹角为60°的匀强磁场中，匀强磁场的磁感应强度B随时间t的变化规律如图乙所示(规定斜向下为正方向)，导体棒ab垂直导轨放置，除电阻R的阻值外，其余电阻不计，导体棒ab在水平外力作用下始终处于静止状态．规定a→b的方向为电流的正方向，水平向右的方向为外力的正方向，则在0～t时间内，能正确反映流过导体棒ab的电流i和导体棒ab所受水平外力F随时间t变化的图象是(　　)

图4

一、电磁感应中的电路问题

1．内电路和外电路

(1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源，该部分导体的电阻或线圈的电阻相当于电源的内阻(r)．

(2)除电源外其余部分是外电路．

2．解决与电路相联系的电磁感应问题的基本方法

(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律(或右手定则)确定感应电动势的大小和方向．

(2)画等效电路图．

(3)运用闭合电路欧姆定律、串并联电路的性质、电功率等公式求解．

3．与上述问题相关的几个知识点

(1)电源电动势：E＝n或E＝Blv.

(2)闭合电路欧姆定律：I＝.

部分电路欧姆定律：I＝.

电源的内电压：U内＝Ir.

电源的路端电压：U外＝IR＝E－Ir.

(3)消耗功率：P外＝IU，P总＝IE.

(4)通过导体的电荷量：q＝IΔt＝n.

【例1】 (2008·广东单科·18)如图5(a)所示，水平放置的两根平行金属导轨，间距L＝0.3 m，导轨左端连接R＝0.6 Ω 的电阻．区域abcd内存在垂直于导轨平面向外、B＝0.6 T的匀强磁场，磁场区域宽D＝0.2 m．细金属棒A1和A2用长为2D＝0.4 m的轻质绝缘杆连接，放置在导轨平面上，并与导轨垂直，每根金属棒在导轨间的电阻均为r＝0.3 Ω，导轨电阻不计．使金属棒以恒定速度v＝1.0 m/s沿导轨向右穿越磁场，计算从金属棒A1进入磁场(t＝0)到A2离开磁场的时间内，不同时间段通过电阻R的电流强度，并在图1(b)中画出．

图5

二、电磁感应中的图象问题

1．图象问题可以综合法拉第电磁感应定律、楞次定律或右手定则、安培定则和左手定则，还有与之相关的电路知识和力学知识等．

2．对于图象问题，搞清物理量之间的函数关系、变化范围、初始条件、斜率的物理意义等，往往是解题的关键．

3．解决图象问题的一般步骤

(1)明确图象的种类，即是B－t图象还是Φ－t图象，或者E－t图象、I－t图象等．

(2)分析电磁感应的具体过程．

(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系．

(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等规律写出函数关系式．

(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等．

(6)画图象或判断图象．

【例2】

图6

(2011·山东·22)如图6所示，两固定的竖直光滑金属导轨足够长且电阻不计．两质量、长度均相同的导体棒c、d，置于边界水平的匀强磁场上方同一高度h处．磁场宽为3h，方向与导轨平面垂直．先由静止释放c，c刚进入磁场即匀速运动，此时再由静止释放d，两导体棒与导轨始终保持良好接触．用ac表示c的加速度，Ekd表示d的动能，xc、xd分别表示c、d相对释放点的位移．下列图中正确的是(　　)

[规范思维]

图7

【例3】 (2010·上海单科)如图7所示，一有界区域内，存在着磁感应强度大小均为B，方向分别垂直于光滑水平桌面向下和向上的匀强磁场，磁场宽度均为L.边长为L的正方形线框abcd的bc边紧靠磁场边缘置于桌面上．使线框从静止开始沿x轴正方向匀加速通过磁场区域，若以逆时针方向为电流的正方向，能反映线框中感应电流变化规律的是图(　　)

[规范思维]

【基础演练】

1．用相同导线绕制的边长为L或2L的四个闭合导线框，以相同的速度匀速进入右侧匀强磁场，如图8所示．在每个线框进入磁场的过程中，M、N两点间的电压分别为Ua、Ub、Uc和Ud.下列判断正确的是(　　)

图8

A．Ua<Ub<Uc<Ud B．Ua<Ub<Ud<Uc

C．Ua＝Ub<Uc＝Ud D．Ub<Ua<Ud<Uc

2．一个圆形闭合线圈固定在垂直纸面的匀强磁场中，线圈平面与磁场方向垂直，如图9甲所示．设垂直于纸面向里的磁感应强度方向为正，垂直于纸面向外的磁感应强度方向为负．线圈中顺时针方向的感应电流为正，逆时针方向的感应电流为负．已知圆形线圈中感应电流I随时间变化的图象如图乙所示，则线圈所处的磁场的磁感应强度随时间变化的图象可能是下图中哪一个(　　)

图9

3．如图10甲所示，矩形导线框abcd放在匀强磁场中，在外力控制下静止不动，磁感线方向与线圈平面垂直，磁感应强度B随时间变化的图象如图乙所示．t＝0时刻，磁感应强度的方向垂直纸面向里．在0～4 s时间内，线框ab边受安培力随时间变化的图象(力的方向规定以向左为正方向)可能是下图中的(　　)

图10

4．如图11所示，圆环a和圆环b的半径之比为2∶1，两环用同样粗细、同种材料制成的导线连成闭合回路，连接两环的导线电阻不计，匀强磁场的磁感应强度变化率恒定．则在a、b环分别单独置于磁场中的两种情况下，M、N两点的电势差之比为(　　)

图11

A．4∶1 B．1∶4 C．2∶1 D．1∶2

图12

5．(2010·山东泰安二模)如图12所示，边长为2l的正方形虚线框内有垂直于纸面向里的匀强磁场，一个边长为l的正方形导线框所在平面与磁场方向垂直，导线框和虚线框的对角线重合．从t＝0开始，使导线框从图示位置开始以恒定速度沿对角线方向移动进入磁场，直到整个导线框离开磁场区域．用I表示导线框中的感应电流，取逆时针方向为正．则下列表示I－t关系的图线中，可能正确的是(　　)

6．(2011·江苏·5)如图13所示，水平面内有一平行金属导轨，导轨光滑且电阻不计，匀强磁场与导轨平面垂直．阻值为R的导体棒垂直于导轨静止放置，且与导轨接触良好．t＝0时，将开关S由1掷到2.q、i、v和a分别表示电容器所带的电荷量、棒中的电流、棒的速度和加速度．下列图象正确的是(　　)

图13

题号

答案

图14

7．(2011·四川·24)如图14所示，间距l＝0.3 m的平行金属导轨a1b1c1和a2b2c2分别固定在两个竖直面内．在水平面a1b1b2a2区域内和倾角θ＝37°的斜面c1b1b2c2区域内分别有磁感应强度B1＝0.4 T、方向竖直向上和B2＝1 T、方向垂直于斜面向上的匀强磁场．电阻R＝0.3 Ω、质量m1＝0.1 kg、长为l的相同导体杆K、S、Q分别放置在导轨上，S杆的两端固定在b1、b2点，K、Q杆可沿导轨无摩擦滑动且始终接触良好．一端系于K杆中点的轻绳平行于导轨绕过轻质定滑轮自然下垂，绳上穿有质量m2＝0.05 kg的小环．已知小环以a＝6 m/s2的加速度沿绳下滑，K杆保持静止，Q杆在垂直于杆且沿斜面向下的拉力F作用下匀速运动．不计导轨电阻和滑轮摩擦，绳不可伸长．取g＝10 m/s2，sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8.求

(1)小环所受摩擦力的大小；

(2)Q杆所受拉力的瞬时功率．

【能力提升】

8．两根光滑的长直金属导轨MN、M′N′平行放置于同一水平面内，导轨间距为l，电阻不计，M、M′处接有如图15所示的电路，电路中各电阻的阻值均为R，电容器的电容为C.长度也为l、阻值也为R的金属棒ab垂直于导轨放置，导轨处于磁感应强度为B、方向垂直纸面向里的匀强磁场中．ab在外力作用下向右匀速运动且与导轨保持良好接触，在ab运动距离为x的过程中，整个回路中产生的焦耳热为Q.求：

图15

(1)ab运动速度v的大小；

(2)电容器所带的电荷量q.

9．(2011·江苏省泰州市模拟)如图16甲所示，质量m＝6.0×10－3 kg、边长L＝0.20 m、电阻R＝1.0 Ω的正方形单匝金属线框abcd，置于倾角α＝30°的绝缘斜面上，ab边沿水平方向，线框的上半部分处在垂直斜面向上的匀强磁场中，磁感应强度B随时间t按图乙所示的规律周期性变化，若线框在斜面上始终保持静止，取g＝10 m/s2.试求：

(1)在0～2.0 ×10－2 s时间内线框中产生的感应电流的大小；

(2)在t＝1.0×10－2 s时线框受到斜面的摩擦力；

(3)一个周期内感应电流在线框中产生的平均电功率．

图16

学案3　电磁感应中的电路与图象问题

【课前双基回扣】

1．B

　[题中正方形线框的左半部分因磁通量变化而产生感应电动势，故线框中将产生感应电流，把左半部分线框看成电源，设其电动势为E，正方形线框的总电阻为r，则其内电阻为，画出等效电路如图所示．则ab两点间的电势差即为电源的路端电压，设边长为l，且依题意知＝10 T/s.

由E＝得E＝＝＝10× V＝0.2 V，所以U＝I＝·＝× V＝0.1 V.

由于a点电势低于b点电势，故Uab＝－0.1 V，B选项正确．]

2．A　[导体AB切割磁感线产生感应电动势，在回路中产生感应电流，方向从B到A，导体AB相当于电源，电源内部电流由负极流向正极，因此A项对，D项错；CD间电阻R相当于外电阻，UCD＝，且φC>φD.B、C项均错误．]

3．D

4．B　[设此题中磁感应强度为B，线框边长为l，速度为v，则四种情况的感应电动势都是Blv，但B中ab为电源，a、b两点间的电势差为路端电压Uab＝Blv，其他三种情况下，Uab＝Blv，故选B.]

5．D　[由楞次定律可判定回路中的电流始终为b→a方向，由法拉第电磁感应定律可判定回路电流大小恒定，故A、B两项错；由F安＝BIL可得F安随B的变化而变化，在0～t0时间内，F安方向向右，故外力F与F安等值反向，方向向左为负值；在t0～t时间内，F安方向改变，故外力F方向也改变为正值，综上所述，D项正确．]

思维提升

1．内电路和外电路

(1)切割磁感线运动的导体或磁通量发生变化的线圈都相当于电源．

(2)该部分导体或线圈的电阻相当于电源的内阻，其余部分是外电路．

2．电源电动势和路端电压

(1)电动势：E＝n(n为线圈的匝数)或E＝Blv.

(2)路端电压：U＝E－Ir＝IR

3．在B－t图象中，正负表示磁场的方向，斜率表示磁感应强度的变化率；在Φ－t图象中斜率表示磁通量的变化率，与感应电动势的大小有关．

【核心考点突破】

例1 见解析

解析　t1＝＝0.2 s，t2＝＝0.4 s，t3＝＝0.6 s.

0～t1(0～0.2 s)时间内，A1棒相当于电源，

A1棒产生的感应电动势

E＝BLv＝0.6×0.3×1.0 V＝0.18 V

电阻R与A2棒并联，阻值为R并＝＝0.2 Ω

所以电阻R两端电压

U＝E＝×0.18 V＝0.072 V

通过电阻R的电流I1＝＝ A＝0.12 A

t1～t2(0.2 s～0.4 s)时间内穿过两金属棒之间的平面的磁通量不变，E＝0，I2＝0.

同理，t2～t3(0.4 s～0.6 s)时间内，I3＝0.12 A.

不同时间段通过R的电流如图所示．

[规范思维]　电磁感应中的电路问题，实质是发生电磁感应的部分相当于电源对外供电，供电过程遵从电路中一切规律．所以明确“电源”及电路结构，画等效电路图是解题的关键．

例2 BD　[c棒下落h的过程为自由落体运动，a＝g.设进入磁场瞬间速度为v，则由匀速运动有F安＝mg＝BIL＝，a＝0.此时释放d棒，在d棒自由下落h的过程中，c棒在磁场中下落2h，此过程c一直做匀速运动，a＝0.当d棒进入磁场后，c、d两棒运动速度相同，穿过闭合回路磁通量不变，无感应电流，无安培力，二者都做匀加速直线运动．共同下落h后，此时c棒离开磁场，d棒进入磁场h的距离，此时c、d的速度都是v′(v′>v)，d此时切割磁感线，产生感应电动势E′＝BLv′，F安′＝BI′L＝BL>F安＝mg，d棒做减速运动，d棒离开磁场后c、d两棒均以加速度a＝g做匀加速运动，故选项B、D正确．]

[规范思维]　分析清楚c、d两棒在下述三个过程中的受力情况和运动情况是解决本题的关键．①c在磁场内，d在磁场外．②c、d都在磁场内．③c在磁场外，d在磁场内．

例3 AC　[电流一开始为正，且I＝＝＝kt，所以电流随时间均匀增大，A项正确；v＝，I＝＝∝，C项正确．本题还要注意线圈进入第二个磁场前后感应电流大小和方向不一样．]

[规范思维]　对图象的认识，应从以下几方面注意：

(1)明确图象所描述的物理意义，有必要需写出函数表达式；

(2)必须明确各种“＋”“－”的含义；

(3)必须明确斜率的含义；

(4)必须建立图象和电磁感应过程之间的对应关系．

思想方法总结

1．解决电磁感应电路问题的基本步骤

(1)用法拉第电磁感应定律和楞次定律或右手定则确定感应电动势的大小和方向：感应电流的方向是电源内部电流的方向．

(2)根据“等效电源”和电路中其他各元件的连接方式画出等效电路．

(3)根据E＝BLv或E＝n结合闭合电路欧姆定律，串并联电路知识和电功率、焦耳定律等关系式联立求解．

2．电磁感应图象问题的解决方法

解决图象问题的一般步骤

(1)明确图象的种类，即是B－t图还是Φ－t图，或者E－t图、I－t图等．

(2)分析电磁感应的具体过程．

(3)用右手定则或楞次定律确定方向对应关系．

(4)结合法拉第电磁感应定律、欧姆定律、牛顿运动定律等写出函数关系式．

(5)根据函数关系式，进行数学分析，如分析斜率的变化、截距等．

(6)判断图象(画图象或应用图象解决问题)．

3．对图象的分析，应做到“四明确一理解”：

(1)明确图象所描述的物理意义；明确各种“＋”、“－”的含义；明确斜率的含义；明确图象和电磁感应过程之间的对应关系．

(2)理解三个相似关系及其各自的物理意义：

v－Δv－，B－ΔB－，Φ－ΔΦ－.

【课时效果检测】

1．B　2.CD　3.D　4.C　5.D

6．D　[导体棒做加速度减小的加速运动，直至匀速．故q－t图象应如图甲所示，A错；i－t图象应如图乙所示，B错；v－t图象应如图丙所示，C错，D对．]

7．(1)0.2 N　(2)2 W

8．(1)　(2)

解析　(1)设ab上产生的感应电动势为E，回路中的电流为I，ab运动距离x所用时间为t，三个电阻R与电源串联，总电阻为4R，则有E＝Blv

由闭合电路欧姆定律有I＝

t＝

由焦耳定律有Q＝I2(4R)t

由上述方程得v＝.

(2)设电容器两极板间的电势差为U，则有U＝IR

电容器所带的电荷量q＝CU

解得q＝.

9．(1)0.20 A　(2)3.4×10－2 N　沿斜面向上

(3)6×10－2 W

解析　(1)0～2.0×10－2 s时间内，线框中产生的感应电动势为E1，感应电流为I1，方向由d→c，则E1＝＝·

I1＝

代入数据解得E1＝0.20 V，I1＝0.20 A.

(2)t＝1.0×10－2 s，线框受到的安培力F1＝B1I1L，方向沿斜面向下，结合图乙，代入数据得F1＝4.0×10－3 N

设此时线框受到的摩擦力大小为Ff，则

由线框在斜面静止得mgsin α＋F1－Ff＝0

代入数据得Ff＝3.4×10－2 N

摩擦力方向沿斜面向上．

(3)在3.0×10－2 s～4.0×10－2 s时间内线框中产生的感应电动势

E2＝·

代入数据得E2＝0.40 V

2．0×10－2 s～3.0×10－2 s时间内，E3＝0.

设磁场变化周期为T，线框中产生的平均电功率为P，则

·＋·＝PT

代入数据得P＝6×10－2 W

易错点评

1．在第1题中，不理解UMN的意义，不能对a、b、c、d四种情况进行统一分析，列相应表达式是错误的主要原因．

2．在第2题中，往往是把C项分析正确了，然后马上把D项否定．属于没有真正理解B－t图象斜率的大小、方向的意义．

3．在第4题中，出错的原因主要是分析不彻底，虽然从图象上判知感应电流在前、后半周期都是恒定的，但没有想安培力也随B的变化而变化．

4．在第5题中，由于不能想到方框切割磁感线的有效长度随时间或位移如何变化，导致出错．

5．图象类问题是高考考查的热点内容，在历年的高考试卷中常常有所体现，但在考查过程中错误率也较高，主要体现在有些同学对坐标轴上的单位没有弄清楚，对物理量在变化过程中的大小、正负没有分析清楚．

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