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四川省雷波县民族中学高中物理第9章学案4 电磁感应中的动力学和能量问题

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一、概念规律题组

1．如图1所示，

图1

固定在水平绝缘平面上且足够长的金属导轨不计电阻，但表面粗糙，导轨左端连接一个电阻R，质量为m的金属棒(电阻也不计)放在导轨上并与导轨垂直，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直．用水平恒力F把ab棒从静止起向右拉动的过程中，下列说法正确的是(　　)

A．恒力F做的功等于电路产生的电能

B．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能

C．克服安培力做的功等于电路中产生的电能

D．恒力F和摩擦力的合力做的功等于电路中产生的电能和棒获得的动能之和

图2

2．光滑曲面与竖直平面的交线是抛物线，如图2所示，抛物线的方程为y＝x2，其下半部处在一个水平方向的匀强磁场中，磁场的上边界是y＝a的直线(图中的虚线所示)，一个质量为m的小金属块从抛物线y＝b(b>a)处以速度v沿抛物线下滑，假设抛物线足够长，则金属块在曲面上滑动的过程中产生的焦耳热总量是(　　)

A．mgb B.mv2

C．mg(b－a) D．mg(b－a)＋mv2

二、思想方法题组

图3

3．如图3所示，先后两次将同一个矩形线圈由匀强磁场中拉出，两次拉动的速度相同．第一次线圈长边与磁场边界平行，将线圈全部拉出磁场区，拉力做功W1、通过导线截面的电荷量为q1，第二次线圈短边与磁场边界平行，将线圈全部拉出磁场区域，拉力做功为W2、通过导线截面的电荷量为q2，则(　　)

A．W1>W2，q1＝q2 B．W1＝W2，q1>q2

C．W1<W2，q1<q2 D．W1>W2，q1>q2

图4

4．如图4所示，电阻为R，其他电阻均可忽略，ef是一电阻可不计的水平放置的导体棒，质量为m，棒的两端分别与ab、cd保持良好接触，又能沿框架无摩擦下滑，整个装置放在与框架垂直的匀强磁场中，当导体棒ef从静止下滑经一段时间后闭合开关S，则S闭合后(　　)

A．导体棒ef的加速度可能大于g

B．导体棒ef的加速度一定小于g

C．导体棒ef最终速度随S闭合时刻的不同而不同

D．导体棒ef的机械能与回路内产生的电能之和一定守恒

一、电磁感应中的动力学问题

1．电磁感应与动力学、运动学结合的动态分析，分析方法是：

导体受力运动产生感应电动势→感应电流→通电导线受安培力→合外力变化→加速度变化→速度变化→感应电动势变化→……周而复始地循环，直至达到稳定状态．

2．分析动力学问题的步骤

(1)用电磁感应定律和楞次定律、右手定则确定感应电动势的大小和方向．

(2)应用闭合电路欧姆定律求出电路中感应电流的大小．

(3)分析研究导体受力情况，特别要注意安培力方向的确定．

(4)列出动力学方程或平衡方程求解．

3．两种状态处理

(1)导体处于平衡态——静止或匀速直线运动状态．

处理方法：根据平衡条件——合外力等于零，列式分析．

(2)导体处于非平衡态——加速度不为零．

处理方法：根据牛顿第二定律进行动态分析或结合功能关系分析．

[来源:]

图5

【例1】如图5甲所示，两根足够长的直金属导轨MN、PQ平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，两导轨间距为L.M、P两点间接有阻值为R的电阻．一根质量为m的均匀直金属杆ab放在两导轨上，并与导轨垂直．整套装置处于磁感应强度为B的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下．导轨和金属杆的电阻可忽略．让ab杆沿导轨由静止开始下滑，导轨和金属杆接触良好，不计它们之间的摩擦．

(1)由b向a方向看到的装置如图乙所示，请在此图中画出ab杆下滑过程中某时刻的受力示意图．

(2)在加速下滑过程中，当ab杆的速度大小为v时，求此时ab杆中的电流及其加速度的大小．

(3)求在下滑过程中，ab杆可以达到的速度最大值．

[规范思维]

二、电磁感应中的能量问题

1．电磁感应过程的实质是不同形式的能量转化的过程．电磁感应过程中产生的感应电流在磁场中必定受到安培力作用，因此要维持感应电流存在，必须有“外力”克服安培力做功．此过程中，其他形式的能转化为电能，“外力”克服安培力做多少功，就有多少其他形式的能转化为电能；当感应电流通过用电器时，电能又转化为其他形式的能．可以简化为下列形式：

同理，安培力做功的过程，是电能转化为其他形式的能的过程，安培力做多少功就有多少电能转化为其他形式的能．

2．电能求解的思路主要有三种

(1)利用克服安培力做功求解：电磁感应中产生的电能等于克服安培力所做的功；

(2)利用能量守恒求解：机械能的减少量等于产生的电能；

(3)利用电路特征求解：通过电路中所产生的电能来计算．

图6

【例2】如图6所示，两根足够长的平行导轨处在与水平方向成θ＝37°角的斜面上，导轨电阻不计，间距L＝0.3 m，导轨两端各接一个阻值R0＝2 Ω的电阻；在斜面上加有磁感应强度B＝1 T、方向垂直于导轨平面的匀强磁场．一质量为m＝1 kg、电阻r＝2 Ω的金属棒横跨在平行导轨间，棒与导轨间的动摩擦因数μ＝0.5.金属棒以平行于导轨向上、v0＝10 m/s的初速度上滑，直至上升到最高点的过程中，通过上端电阻的电荷量Δq＝0.1 C，求上端电阻R0产生的焦耳热Q.(g取10 m/s2)

[规范思维]

图7

[针对训练]　(2009·天津理综·4)如图7所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，质量不能忽略的金属棒与两导轨始终保持垂直并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在匀强磁场中，磁场方向与导轨平面垂直，棒在竖直向上的恒力F作用下加速上升的一段时间内，力F做的功与安培力做的功的代数和等于(　　)

A．棒的机械能增加量 B．棒的动能增加量

C．棒的重力势能增加量 D．电阻R上放出的热量

【基础演练】

图8

1．(2010·合肥模拟)如图8所示，在一匀强磁场中有一“”形导体框bacd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可以在ab、cd上无摩擦地滑动，杆ef及线框中导体的电阻都可不计．开始时，给ef一个向右的初速度，则(　　)

A．ef将减速向右运动，但不是匀减速

B．ef将匀速向右运动，最后停止

C．ef将匀速向右运动

D．ef将做往复运动

图9

(2011·福建·17)如图9所示，足够长的U型光滑金属导轨平面与水平面成θ角(0<θ<90°)，其中MN与PQ平行且间距为L，导轨平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，导轨电阻不计．金属棒ab由静止开始沿导轨下滑，并与两导轨始终保持垂直且良好接触，ab棒接入电路的电阻为R，当流过ab棒某一横截面的电量为q时，棒的速度大小为v，则金属棒ab在这一过程中(　　)

A．运动的平均速度大小为v

B．下滑的位移大小为

C．产生的焦耳热为qBLv

D．受到的最大安培力大小为sin θ

图10

3．如图10所示，有两根与水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长．空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B，一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下．经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm，则(　　)

A．如果B增大，vm将变大 B．如果α变大，vm将变大

C．如果R变大，vm将变大 D．如果m变小，vm将变大

图11

4．(2008·山东高考)两根足够长的光滑导轨竖直放置，间距为L，底端接阻值为R的电阻．将质量为m的金属棒悬挂在一个固定的轻弹簧下端，金属棒和导轨接触良好，导轨所在平面与磁感应强度为B的匀强磁场垂直，如图11所示．除电阻R外其余电阻不计．现将金属棒从弹簧原长位置由静止释放，则(　　)

A．释放瞬间金属棒的加速度等于重力加速度g

B．金属棒向下运动时，流过电阻R的电流方向为a→b

C．金属棒的速度为v时，所受的安培力大小为F＝

D．电阻R上产生的总热量等于金属棒重力势能的减少

图12

5．(2009·福建理综·18)如图12所示，固定放置在同一水平面内的两根平行长直金属导轨的间距为d，其右端接有阻值为R的电阻，整个装置处在竖直向上、磁感应强度大小为B的匀强磁场中．一质量为m(质量分布均匀)的导体杆ab垂直于导轨放置，且与两导轨保持良好接触，杆与导轨之间的动摩擦因数为μ.现杆在水平向左、垂直于杆的恒力F作用下从静止开始沿导轨运动距离l时，速度恰好达到最大(运动过程中杆始终与导轨保持垂直)．设杆接入电路的电阻为r，导轨电阻不计，重力加速度大小为g.则此过程(　　)

A．杆的速度最大值为

B．流过电阻R的电量为

C．恒力F做的功与摩擦力做的功之和等于杆动能的变化量

D．恒力F做的功与安培力做的功之和大于杆动能的变化量

6．(2010·安徽理综·20)如图13所示，

图13

水平地面上方矩形区域内存在垂直纸面向里的匀强磁场，两个边长相等的单匝闭合正方形线圈Ⅰ和Ⅱ，分别用相同材料、不同粗细的导线绕制(Ⅰ为细导线)．两线圈在距磁场上界面h高处由静止开始自由下落，再进入磁场，最后落到地面．运动过程中，线圈平面始终保持在竖直平面内且下边缘平行于磁场上边界．设线圈Ⅰ、Ⅱ落地时的速度大小分别为v1、v2，在磁场中运动时产生的热量分别为Q1、Q2.不计空气阻力，则(　　)

A．v1<v2，Q1<Q2 B．v1＝v2，Q1＝Q2

C．v1<v2，Q1>Q2 D．v1＝v2，Q1<Q2

【能力提升】

7．如图14所示是磁悬浮列车运行原理模型．两根平行直导轨间距为L，磁场磁感应强度B1＝B2，方向相反，并且以速度v同时沿直导轨向右匀速运动．导轨上金属框边长为L，电阻为R，运动时受到的阻力为Ff，则金属框运动的最大速度表达式为(　　)

图14

A．vm＝ B．vm＝

C．vm＝ D．vm＝

题号

答案

图15

如图15所示，水平放置的平行轨道M、N间接一阻值为R＝0.128 Ω的电阻，轨道宽为L＝0.8 m．轨道上搭一金属棒ab，其质量m＝0.4 kg，ab与轨道间动摩擦因数为0.5，除R外其余电阻不计．垂直于轨道面的匀强磁场磁感应强度为B＝2 T，ab在一电动机牵引下由静止开始运动，经过2 s，ab运动了1.2 m并达到最大速度．此过程中电动机平均输出功率为8 W，最大输出功率为14.4 W．求该过程中电阻R上消耗的电能．(取g＝10 m/s2)

9．光滑平行的金属导轨MN和PQ，间距L＝1.0 m，与水平面之间的夹角α＝30°，匀强磁场磁感应强度B＝2.0 T，垂直于导轨平面向上，MP间接有阻值R＝2.0 Ω的电阻，其它电阻不计，质量m＝2.0 kg的金属杆ab垂直导轨放置，如图16甲所示．用恒力F沿导轨平面向上拉金属杆ab，由静止开始运动，v－t图象如图乙所示，g取10 m/s2，导轨足够长．求：

图16

(1)恒力F的大小；

(2)金属杆速度为2.0 m/s时的加速度大小；

(3)根据v－t图象估算在前0.8 s内电阻上产生的热量．

学案4　电磁感应中的动力学和能量问题

【课前双基回扣】

1．CD

2．D　[金属块在进入磁场或离开磁场的过程中，穿过金属块的磁通量发生变化，产生电流，进而产生焦耳热．最后，金属块在高为a的曲面上做往复运动．减少的机械能为mg(b－a)＋mv2，由能量的转化和守恒可知，减少的机械能全部转化成焦耳热，即选D.]

3．A　[设矩形线圈的长边为a，短边为b，电阻为R，速度为v，则W1＝BI1ba＝B··a·b，W2＝BI2ba＝B··a·b，因为a>b，所以W1>W2.通过导线截面的电荷量q1＝I1t1＝·＝q2.]

4．AD　[开关闭合前，导体棒只受重力而加速下滑．闭合开关时有一定的初速度v0，若此时F安>mg，则F安－mg＝ma.若F安<mg，则mg－F安＝ma，F安不确定，A正确，B错误；无论闭合开关时初速度多大，导体棒最终的安培力和重力平衡，故C错误．再根据能量守恒定律，D正确．]

[来源:]

思维提升

1．导体切割磁感线产生感应电流时，克服安培力做的功，与电能的生成大小相等，即机械能转化为电能的量用克服安培力做的功来量度．

2．导体棒切割磁感线运动产生感应电流时，导体棒所受安培力的方向判断：

方法一：先判断感应电流的方向，然后利用左手定则判断安培力的方向；方法二：利用楞次定律的第二种描述，安培力的作用总是阻碍相对运动，从而判断安培力的方向．

【核心考点突破】

例1 (1)见解析　(2)　gsin θ－

(3)

解析　(1)如图所示，ab杆受重力mg，竖直向下；支持力FN，垂直斜面向上；安培力F，沿斜面向上．

(2)当ab杆速度为v时，感应电动势E＝BLv，此时电路中的电流I＝＝

ab杆受到的安培力F＝BIL＝

根据牛顿运动定律，有

ma＝mgsin θ－F＝mgsin θ－

a＝gsin θ－.

(3)当ab杆所受合外力为零，即＝mgsin θ时，ab杆达到最大速度vm＝.

[规范思维]　此题为杆切割磁感线的动力学模型，首先在垂直于导体的平面内对导体进行受力分析，然后分析导体的运动，由于安培力随速度变化而变化，这个运动开始通常是变加速运动，然后做稳定的匀速直线运动，最后用牛顿运动定律、能量关系解题．

例2 5 J

解析　由于导轨电阻不计，题中感应电路等效图如图所示，故ab上升过程中通过电路的感应电荷量为：

ΔQ＝＝2×Δq

设ab棒上滑的最大位移为x，

因此，B·＝2Δq

解得：x＝2 m

设ab杆上滑过程中上端电阻产生的焦耳热为Q，则整个回路中产生的焦耳热为6Q，由能量转化和守恒定律有：

mv＝mgxsin 37°＋μmgxcos 37°＋6Q

解得：Q＝5 J.

[规范思维]　在金属棒上滑过程中，动能、重力势能、内能和电能间发生转化，利用能量转化和守恒定律很容易求解．注意求解的是电阻R0产生的焦耳热，不是整个电路的焦耳热，要找清二者的关系，再结合能量转化和能量守恒定律求解．

[针对训练]

A　[由动能定理有WF＋W安＋WG＝ΔEk，则WF＋W安＝ΔEk－WG，WG<0，故ΔEk－WG表示机械能的增加量．选A项．]

思想方法总结

1．电磁感应中的动力学临界问题

(1)解决这类问题的关键是通过运动状态的分析，寻找过程中的临界状态，如速度、加速度求最大值或最小值的条件．

2．分析电磁感应中功能关系类问题时要牢牢抓住能量守恒这一基本规律和线索，找出研究过程中有哪些力做功，就可以确定有哪些形式的能量参与转化，如摩擦力对系统做负功，必然有内能出现；重力做功时，一般会有机械能参与转化；安培力做负功时其他形式的能转化为电能，做正功时电能转化为其他形式的能等．

3．求解焦耳热的途径

(1)感应电路中产生的焦耳热等于克服安培力做的功，即Q＝W安．

(2)感应电路中电阻产生的焦耳热等于电流通过电阻做的功，即Q＝I2Rt.

(3)感应电流中产生的焦耳热等于电磁感应现象中其他形式能量的减少，即Q＝ΔE他．

4．建立导体棒沿方框运动切割磁感线问题模型．

导体AB棒由静止下滑：分析其受力变化、加速度变化、速度变化．各力的功的正负、能量转化关系、功率关系、最终稳定时的状态等．

【课时效果检测】

1．A　2.B　

3．BC　[金属杆在下滑过程中先做加速度减小的加速运动，速度达到最大后做匀速运动，所以当F安＝mgsin α时速度最大，F安＝BIl＝，所以vm＝，分析各选项知B、C正确．]

4．AC　[释放瞬间，金属棒只受重力作用，所以其加速度等于重力加速度．金属棒向下切割磁感线，产生的电流由b→a流经R，当速度为v时，感应电流I＝，则安培力F＝BIL＝.从能量守恒方面看，重力势能的减少量等于弹性势能的增加量与电阻R上产生的总热量之和．]

5．BD　[当v最大时导体杆水平方向受力平衡，有F＝Ff＋F安，即F＝μmg＋，v＝，故A错；通过电阻R的电量q＝＝，故B对；由动能定理有WF＋Wf＋WF安＝ΔEk，因为Wf<0，故C错，D对．]

6．D　[设单匝闭合正方形线框边长为L，导线横截面积为S0，密度为ρ，电阻率为ρ′，则其刚进入磁场时的加速度

a＝＝g－＝g－

＝g－，

其中v为线圈刚进入磁场时的速度，可见加速度的大小与线框的粗细无关，两线圈运动规律完全相同，故两线圈到达地面的速度相等，线圈产生的热量为克服安培力做功的大小，两线圈做功位移相等，但FA＝，因两线圈电阻不同，线圈I电阻大，其安培力小，故其做功少，产生热量也少，故本题正确选项为D.]

7．C　[当金属棒受到的安培力和阻力平衡时速度最大，根据E＝BL(v－vm)，I＝，F安＝BIL,2F安＝Ff，解得vm＝，故C正确．]

8．13.472 J

解析　当电动机提供的牵引力等于导体棒所受安培力与滑动摩擦力之和时，速度最大为vmax，由题知此时电动机输出功率最大．

故有F＝＝μmg＋

将已知数据代入得10v＋vmax－7.2＝0

解得vmax＝0.8 m/s(负值舍去)．全过程，由能的转化和守恒定律知t＝Q＋μmgx＋mv

代入已知数据得Q＝13.472 J.

9．(1)18 N　(2)2.0 m/s2　(3)4.12 J

解析　(1)对金属杆受力分析如右图所示．

由v—t图象可知导轨最后匀速运动且vmax＝4 m/s.

即F＝mgsin 30°＋F安①

F安＝BIL②

I＝③

由①②③解得：F＝＋mgsin 30°＝18 N.

(2)对金属杆由牛顿第二定律得

F－mgsin 30°－F安＝ma

a＝＝2.0 m/s2.

(3)由v—t图象知：0.8 s内位移即为0～0.8 s内图象所包围的小方格面积的和，小方格的个数为28个，故

x＝28×0.2×0.2＝1.12 m

设在前0.8 s内电阻上产生的热量为Q，则由功能关系得Fx＝Q＋mgxsin α＋mv2，由v—t图象知0.8 s时速度v＝2.2 m/s

解得：Q＝Fx－mgxsin α－mv2＝4.12 J.

易错点评

1．对于第6题，分析关键是要找出Ⅰ、Ⅱ线圈的真正区别在哪里，写出二者进入磁场时的加速度通式．在判断热量Q时，用能量守恒的方法判断较为容易．

2．在第7题中，没有考虑线框的ad、bc两条边在方向相反的磁场中均产生电动势，只按一条边切割磁感线来计算电动势，得出E＝BLv，是错误的．

3．在本节问题中求焦耳热Q时，注意Q＝I2Rt的适用条件，即I一定是恒定的，否则应用能量守恒进行计算．

4．求解电荷量q时，公式中q＝n＝n中，ΔS是金属棒扫过的面积，R应是回路总电阻．

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