专题三   力与物体的曲线运动 学案
典例精析
题型1.（运动的合成与分解问题）若河水的流速大小与水到河岸的距离有关，河中心水的流速最大，河岸边缘处水的流速最小。现假设河的宽度为120m，河中心水的流速大小为4m/s，船在静水中的速度大小为3m/s，要使般以最短时间渡河，则 （       ）
 A．船渡河的最短时间是24s
 B．在行驶过程中，船头始终与河岸垂直
 C．船在河水中航行的轨迹是一条直线
 D．般在河水中的最大速度为5m/s
解析：根据分运动具有独立性和等时性可知，当船头与河岸垂直过河时，时间t最短，t=120/3=40s，A错，B对；船速是恒定的，但是水流速度与水到河岸的距离有关，合速度的大小和方向都在不断变化，轨迹为曲线，C错；船在河水中的速度是指合运动的速度
最大，D正确。
规律总结：1.合运动与分运动具有等时性，分运动具有独立性，这一原理经常应用解决小船过河即平抛运动问题。
2.运动的合成与分解的依据仍然是平行四边形定则。
3.区分分运动和合运动的基本方法是：合运动是物体的实际运动轨迹。

题型2. （平抛（或类平抛）运动问题）如图所示,AB为竖直墙壁，A点和P点在同一水平面上。空间存　在着竖直方向的匀强电场。将一带电小球从P点以速度
向A抛出，结果打在墙上的C处。若撤去电场，将小球从P点以初速
向A抛出，也正好打在墙上的C点。求：
（1）第一次抛出后小球所受电场力和重力之比
（2）小球两次到达C点时速度之比

解析：（1）设AC=h、电场力为FQ，根据牛顿第二定律得：FQ+mg=ma①
第一次抛出时，h=
    ②  (1分 )
第二次抛出时，h=
   ③ (1分 )
由②、③两式得a=4g      ④ (1分 )
所以，FQ：G=3:1          ⑤ (1分 )
（2）第一次抛出打在C点的竖直分速度
y1=a(
)⑥ (1分 )
第二次抛出打在C点的竖直分速度
y2=g(
)⑦ (1分 )
第一次抛出打在C点的速度
1=
⑧ (1分 )
第二次抛出打在C点的速度
2=
⑨ (1分 )
所以，
1：
2=2：1⑩ (1分 )
规律总结：平抛（或类平抛）运动处理的基本方法就是把运动分解为水平方向的匀速运动和竖直方向的匀加速运动。通过研究分运动达到研究合运动的目的。

题型3.（竖直平面内的圆周运动问题）如图15所示，质量为 m、电量为+q的带电小球固定于一不可伸长的绝缘细线一端，绳的另一端固定于O点，绳长为
，O点有一电荷量为+Q(Q＞＞q)的点电荷P，现加一个水平和右的匀强电场，小球静止于与竖直方向成 θ=300角的A点。求：
(1)小球静止在A点处绳子受到的拉力；
(2) 外加电场大小；
(3)将小球拉起至与O点等高的B点后无初速释放，则小球经过最低点C时，绳受到的拉力

解析：(1)带电粒子A处于平衡，其受力如图，其中F为两点电荷间的库仑力，T为绳子拉力，E0为外加电场，则
Tcosθ-mg-Fcosθs=0      (2分)
Fsinθ+qE0-Tsinθ=0       (2分)

                (2分)
联立式解得：有
       (2分)
           
     (2分)
(2)小球从B运动到C的过程中，q与Q间的库仑力不做功，由动能定理得

    (2分)
在C点时： 
   (2分)
联立、、解得：
     (2分)
审题指导：1.要注意对小球受力分析，不要漏掉库仑力。
在处理竖直平面内的圆周运动问题时，一般要用动能定理建立最高点、最低点的速度关系。
要注意库仑力始终与运动方向垂直，不做功。

题型4.（万有引力定律及应用）图示是我国的“探月工程”向月球发射一颗绕月探测卫星“嫦娥一号”过程简图．“嫦娥一号”进入月球轨道后，在距离月球表面高为h的轨道上绕月球做匀速圆周运动．
（1）若已知月球半径为R月，月球表面的重力加速度为g月，则“嫦娥一号”环绕月球运行的周期为多少？
（2）若已知R月=
R地，g月=
g地，则近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的多少倍？

解析：（1）设“嫦娥一号”环绕月球运行的周期是T，根据牛顿第二定律得
G
= mg月  （2分）
G
= m
（R月+h）（2分）
解得T=
（2分）
（2）对于靠近天体表面的行星或卫星有mg=
，v=
（2分）
由v=
知，
=
（1分）
将R月=
R地，g月=
g地代入计算，可知
（≈0.2）（2分）
即近月卫星的运行速度约为近地卫星运行速度的
（0.2）倍．
规律总结：在利用万有引力定律解决天体运动的有关问题是，通常把天体运动看成匀速圆周运动，其需要的向心力就是天体之间相互作用的万有引力提供。
即

题型5.（卫星与航天问题）如图所示，A为静止于地球赤道上的物体，B为绕地球做椭圆轨道运行的卫星，C为绕地球做圆周运动的卫星，P为B、C两卫星轨道的交点．已知A、B、C绕地心运动的周期相同．相对于地心，下列说法中不正确的是
A．物体A和卫星C具有相同大小的加速度
B．卫星C的运行速度大于物体A的速度
C．可能出现：在每天的某一时刻卫星B在A的正上方
D．卫星B在P点的运行加速度大小与卫星C的运行加速度大小相等
解析：A、C两者周期相同，转动角速度
相同，由
可知A错；由
可知，
，B正确；因为物体A随地球自转，而B物体转动周期与A相同，当B物体经过地心与A连线与椭圆轨道的交点是，就会看到B在A的正上方，C对；由
可知，
，D正确。

题型6.（天体与航天器的能量问题）重力势能EP＝mgh实际上是万有引力势能在地面附近的近似表达式，其更精确的表达式为EP＝－GMm/r，式中G为万有引力恒量，M为地球质量，m为物体质量，r为物体到地心的距离，并以无限远处引力势能为零
现有一质量为m的地球卫星，在离地面高度为H处绕地球做匀速圆周运动。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，地球质量未知，试求：
（1）卫星做匀速圆周运动的线速度；
（2）卫星的引力势能；
（3）卫星的机械能；
（4）若要使卫星能依靠惯性飞离地球（飞到引力势能为零的地方），则卫星至少要具有多大的初速度？
解析：（1）由牛顿运动定律：
（2分）
 得：
（1分）
⑵由引力势能的表达式
：
（2分）
⑶卫星的机械能应该是卫星的动能和势能之和，即

得（3分）

（1分）
⑷由机械能守恒定律，对地球与卫星组成的系统，在地球表面的机械能与飞到无限远处的机械能相等。设初速度至少应为v

，
（2分）
解得：
（1分）
规律总结：在卫星和地球组成的系统内，机械能是守恒的，卫星的动能可通过匀速圆周运动的线速度来求，引力势能在选择了无穷远处为零势能点后，可以用
来求，机械能为两者之和。

专题突破
针对典型精析的例题题型，训练以下习题。
1. 如图甲所示，在一端封闭、长约lm的玻璃管内注满清水，水中放一个蜡烛做的蜡块，将玻璃管的开口端用胶塞塞紧．然后将这个玻璃管倒置，在蜡块沿玻璃管上升的同时，将玻璃管水平向右移动．假设从某时刻开始计时，蜡块在玻璃管内每1s上升的距离都是10cm，玻璃管向右匀加速平移，每1s通过的水平位移依次是2.5cm、7.5cm、12.5cm、17.5cm．图乙中，y表示蜡块竖直方向的位移，x表示蜡块随玻璃管通过的水平位移，t=0时蜡块位于坐标原点．取重力加速度g=10m/s2
（1）请在图乙中画出蜡块4s内的轨迹；
（2）求出玻璃管向右平移的加速度；
（3）求t=2s时蜡块的速度v．

点拨：运动的合成与分解问题。
（1）如图　　（4分）
（2）Δx=at2              ①（2分）
a=
②（2分）
（3）vy=
  ③（1分）
vx=at=0.1m/s         ④（1分）
v=
　　⑤（2分

2. 在大风的情况下，一小球自A点竖直向上抛出，其运动的轨迹如图11所示（小球的运动可看作竖直方向的竖直上抛运动和水平方向的初速YC为零的匀加速直线运动的合运动）。小球运动的轨迹上A、B两点在同一水平线上，M点为轨迹的最高点。若风力的大小恒定、方向水平向右，小球抛出时的动能为4J，在M点时它的动能为2J，不计其他的阻力。求：
（1）小球的水平位移S1与S2的比值。
（2）小球所受风力F与重力G的比值。（结果可用根式表示）
（3）小球落回到B点时的动能EKB-
点拨：平抛（或类平抛问题）
（1）小球在竖直方向上做竖直上抛运动，故从A点至M点和从M点至B点的时间t相等，小球在水平方向上做初速为零的匀加速运动，设加速度为a，则

   
      所以

   （2）小球从A点至M点，水平方向据动量定理F·t=mvM－0
竖直方向据动量定理  －Gt=0－mvA
另据题意
    
  ，联立式解得

   （3）小球在水平方向上 



动能

3. 如图所示，有一水平放置的绝缘光滑圆槽，圆半径为R，处在一水平向右且与圆槽直径AB平行的匀强电场中，场强为E．圆槽内有一质量为m，带电量为＋q的小球作圆周运动，运动到A点时速度大小为v，则到达B点时小球的向心加速度大小为__________________；小球做完整的圆周运动最难通过图中的_____________点。
点拨：竖直平面内的圆周运动问题。
由动能定理：


解得：

因为小球在水平面内通过A点的速度最小，因此通过A点最困难。

4. 如图所示，半径R=0.80m的
光滑圆弧轨道竖直固定，过最低点的半径OC处于竖直位置．其右方有底面半径r=0.2m的转筒，转筒顶端与C等高，下部有一小孔，距顶端h=0.8m．转筒的轴线与圆弧轨道在同一竖直平面内，开始时小孔也在这一平面内的图示位置．今让一质量m=0.1kg的小物块自A点由静止开始下落后打在圆弧轨道上的B点，但未反弹，在瞬问碰撞过程中，小物块沿半径方向的分速度立刻减为O，而沿切线方向的分速度不变．此后，小物块沿圆弧轨道滑下，到达C点时触动光电装置，使转简立刻以某一角速度匀速转动起来，且小物块最终正好进入小孔．已知A、B到圆心O的距离均为R，与水平方向的夹角均为θ=30°，不计空气阻力，g取l0m/s2．求：
（1）小物块到达C点时对轨道的压力大小?FC；
（2）转筒轴线距C点的距离L；
（3）转筒转动的角速度ω.
点拨：多物体多运动组合问题
（1）由题意可知，ABO为等边三角形，则AB间距离为R，小物块从A到B做自由落体运动，根据运动学公式有
    （2分）
 
                        （2分）
 从B到C，只有重力做功，据机械能守恒定律有
 
        （2分）
 在C点，根据牛顿第二定律有
（2分）
 代入数据解得
       （1分）
 据牛顿第三定律可知小物块到达C点时对轨道的压力FC=3.5N（1分）
   （2）滑块从C点到进入小孔的时间：
（1分）
 
                                             （1分）
 
          （1分）
   （3）在小球平抛的时间内，圆桶必须恰好转整数转，小球才能钻入小孔；
 即
……）                              （2分）
 
……）                        （2分）

5. 2007年10月24日，我国发射了第一颗探月卫星——“嫦娥一号” ，使“嫦娥奔月”这一古老的神话变成了现实。嫦娥一号发射后先绕地球做圆周运动，经多次变轨，最终进入距月面h=200公里的圆形工作轨道，开始进行科学探测活动．设月球半径为R，月球表面的重力加速度为g，万有引力常量为G，则下列说法正确的是（      ）
A．嫦娥一号绕月球运行的周期为
   
B．由题目条件可知月球的平均密度为

C．嫦娥一号在工作轨道上的绕行速度为

D．在嫦娥一号的工作轨道处的重力加速度为

点拨：万有引力定律及应用。

和
可知：

,A、C错，D正确。
由
得
，

6. 在地球表面附近发射卫星，当卫星的速度超过某一速度时，卫星就会脱离地球的引力，不再绕地球运行，这个速度叫做第二宇宙速度．规定物体在无限远处万有引力势能EP=0，则物体的万有引力势能可表示为
，r为物体离地心的距离．设地球半径为r0，地球表面重力加速度为g0，忽略空气阻力的影响，试根据所学的知识，推导第二宇宙速度的表达式（用r0、 g0表示）
点拨：天体或航天器能量问题。
卫星从发射后到脱离地球引力的过程中机械能守恒．设卫星以v0的速度从地面附近发射后恰能脱离地球的引力，则其在地面附近时的能量为：

        　　　　　　　　 （２分）
由题意知 E0 =0 　　　　　　　　　　　　　（２分）
即  
  　　　　　　　　　  （4分）
又因为在地球表面时，物体的重力等于万有引力，有：

      　　　　　　　　　　　　　　 （4分）
解得第二宇宙速度v0满足：
　　　　　　　　 （4分）

学法导航
复习指导：①回归课本夯实基础，仔细看书把书本中的知识点掌握到位
          ②练习为主提升技能，做各种类型的习题，在做题中强化知识
          ③整理归纳举一反三，对易错知识点、易错题反复巩固
        
1. 假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增大到原来的2倍，仍做圆周运动，则（??? ）
A．根据公式v=ωr，可知卫星运动的线速度增大到原来的2倍。




D．根据上述选项B和C给出的公式，可知卫星运动的线速度将减


【错解】选择A，B，C




所以选择A，B，C正确。
【错解分析】A，B，C中的三个公式确实是正确的，但使用过程中A，






【分析解答】正确选项为C，D。
A选项中线速度与半径成正比是在角速度一定的情况下。而r变化时，角速度也变。所以此选项不正确。同理B选项也是如此，F∝是在v一定时，但此时v变化，故B选项错。而C选项中G，M，m都是恒量，所以F∝


【评析】物理公式反映物理规律，不理解死记硬背经常会出错。使用中应理解记忆。知道使用条件，且知道来拢去脉。
卫星绕地球运动近似看成圆周运动，万有引力提供向心力，由此将


根据以上式子得出

2. 一内壁光滑的环形细圆管，位于竖直平面内，环的半径为R（比细管的半径大得多），圆管中有两个直径与细管内径相同的小球（可视为质点）。A球的质量为m1， B球的质量为m2。它们沿环形圆管顺时针运动，经过最低点时的速度都为v0。设A球运动到最低点时，球恰好运动到最高点，若要此时两球作用于圆管的合力为零，那么m1，m2，R与v0应满足关系式是。
【错解】依题意可知在A球通过最低点时，圆管给A球向上的弹力N1为向心力，则有


B球在最高点时，圆管对它的作用力N2为m2的向心力，方向向下，则有


因为m2由最高点到最低点机械能守恒，则有




【错解原因】错解形成的主要原因是向心力的分析中缺乏规范的解题过程。没有做受力分析，导致漏掉重力，表面上看分析出了N1=N2，但实际并没有真正明白为什么圆管给m2向下的力。总之从根本上看还是解决力学问题的基本功受力分析不过关。


【分析解答】首先画出小球运动达到最高点和最低点的受力图，如图4-1所示。A球在圆管最低点必受向上弹力N1，此时两球对圆管的合力为零，m2必受圆管向下的弹力N2，且N1=N2。
据牛顿第二定律A球在圆管的最低点有


同理m2在最高点有


m2球由最高点到最低点机械能守恒




【评析】比较复杂的物理过程，如能依照题意画出草图，确定好研究对象，逐一分析就会变为简单问题。找出其中的联系就能很好地解决问题。

3.?用长L=1.6m的细绳，一端系着质量M=1kg的木块，另一端挂在固定点上。现有一颗质量 m=20g的子弹以v1=500m／s的水平速度向木块中心射击，结果子弹穿出木块后以v2=100m／s的速度前进。问木块能运动到多高？（取g=10m／s2，空气阻力不计）
【错解】在水平方向动量守恒，有
mv1=Mv+mv2????????????????????????????????? (1)
式①中v为木块被子弹击中后的速度。木块被子弹击中后便以速度v开始摆动。由于绳子对木块的拉力跟木块的位移垂直，对木块不做功，所以木块的机械能守恒，即


h为木块所摆动的高度。解①，②联立方程组得到
v=8(v/s)
h=3.2(m)
【错解原因】这个解法是错误的。h=3.2m，就是木块摆动到了B点。如图4-3所示。则它在B点时的速度vB。应满足方程




这时木块的重力提供了木块在B点做圆周运动所需要的向心力。解


如果vB＜4 m/s，则木块不能升到B点，在到达B点之前的某一位置以某一速度开始做斜向上抛运动。而木块在B点时的速度vB=4m/s，是不符合机械能守恒定律的，木块在 B点时的能量为(选A点为零势能点)


两者不相等。可见木块升不到B点，一定是h＜3.2 m。
实际上，在木块向上运动的过程中，速度逐渐减小。当木块运动到某一临界位置C时，如图4－4所示，木块所受的重力在绳子方向的分力恰好等于木块做圆周运动所需要的向心力。此时绳子的拉力为零，绳子便开始松弛了。木块就从这个位置开始，以此刻所具有的速度vc作斜上抛运动。木块所能到达的高度就是C点的高度和从C点开始的斜上抛运动的最大高度之和。
【分析解答】? 如上分析，从式①求得vA=v=8m/s。木块在临界位置C时的速度为vc，高度为
h′=l(1+cosθ)
如图所示，根据机船能守恒定律有




木块从C点开始以速度vc做斜上抛运动所能达到的最大高度h″为


【评析】? 物体能否做圆运动，不是我们想象它怎样就怎样这里有一个需要的向心力和提供向心力能否吻合的问题，当需要能从实际提供中找到时，就可以做圆运动。所谓需要就是符合牛顿第二定律F向=ma向的力，而提供则是实际中的力若两者不相等，则物体将做向心运动或者离心运动。
专题综合
1.（平抛运动+运动的分解+功能关系或牛顿运动定律）倾斜雪道的长为25 m，顶端高为15 m，下端经过一小段圆弧过渡后与很长的水平雪道相接，如图所示。一滑雪运动员在倾斜雪道的顶端以水平速度v0＝8 m/s飞出，在落到倾斜雪道上时，运动员靠改变姿势进行缓冲使自己只保留沿斜面的分速度而不弹起。除缓冲外运动员可视为质点，过渡轨道光滑，其长度可忽略。设滑雪板与雪道的动摩擦因数μ＝0.2，求运动员在水平雪道上滑行的距离（取g＝10 m/s2）
解：如图选坐标，斜面的方程为：

      （1分）
运动员飞出后做平抛运动

               （1分）

             （1分）
联立三式，得飞行时间：  t＝1.2 s        （1分）
落点的x坐标：x1＝v0t＝9.6 m      
落点离斜面顶端的距离：
  （1分）
落点距地面的高度：
 （1分）
接触斜面前的x分速度：
    
                 y分速度：
  
沿斜面的速度大小为：
  （2分）
设运动员在水平雪道上运动的距离为s2，由功能关系得：
          
  （2分）
      解得：s2＝74.8 m          （2分）
（用牛顿运动定律解得s2＝74.8 m，同样给分）

2．（万有引力定律+单摆+圆周运动）有人设想在地球赤道上垂直于地球表面竖起一根刚性的长杆，杆子的长度是地球半径的若干倍。长杆随地球一起自转。在长杆上距地面高度为h=R(R为地球半径)处， 悬挂一个摆长为L，质量为m的单摆(L远远小于R)。设地球半径R、地球表面的重力加速度g地球的自转周期T0均为已知，
 (1)悬挂单摆处随地球自转的向心加速度多大?
 (2)该单摆的振动周期为多少? 
 (3)单摆悬挂于长杆上距地球表面的高度H为多高处，单摆就无法振动?
解：

w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m