荆门市2013年初中毕业生学业水平及升学考试
数 学 试 题 卷
本试题卷共6页。满分120分，考试时间120分钟。
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，将准考证
条形码粘贴在答题卡上的指定位置，并认真
核对条形码上的姓名、准考证号是否
正确。
2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需
改动，必须先用橡皮擦干净后，再选涂另一个答案标号。答案写在试题卷上一律无
效。
3.填空题和解答题用0.5毫米黑色签字笔写在答题卡上每题对应的答题区域内。
答案写在试题卷上一律无效。
3.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题（本大题共12小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共36分）
1．－6的倒数是
A．6    B．－6   C．
    D．－

2．小明上网查得H7N9禽流感病毒的直径大约是0.00000008米，用科学记数法表示为
A．0.8×10
米    B．8×10
米  
C．8×10
米     D．8×10
米  

3．过正方体上底面的对角线和下底面一顶点的平面
截去一个三棱锥所得到的几何体如图所示，它的
俯视图为

 
A.                   B.                C.            D.
4．下列运算正确的是
A．
÷
=
     B．
    
C．
     D．

5．在“大家跳起来”的乡村学校舞蹈比赛中，某校10名
学生
参赛成绩统计如图所示. 对于这10名学生的参赛成
绩，下列说法中错误的是
A．众数是90    B．中位数是90    
C．平均数是90   D．极差是15
6．若反比例函数y =
的图象过点（
2, 1）则一次函数
的图象过
A．第一、二、四象限    B．第一、三、四象限    
C．第二、三、四象限    D．第一、二、三象限
7．四边形
中，对角线
、
相交于点
，给出下列四个条件：
①AD∥BC      ②AD=BC      ③OA=OC      ④OB=OD
从中任选两个条件，能使四边形
为平行四边形的选法有[来源:Z,xx,k.Com]
A．3种   B．4种   C．5种   D．6种
8．若圆锥的侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线
与底面半径
的关系是
A．
  B．
  C．
  D．

9．若关于
的一元一次不等式组            有解，则
的取值范围为

A．
  B．
≤ 
  C． 
  D．
≤ 

10．在平面直角坐标系中，线段OP的两个端点坐标分别是O（0，0），P(4，3)，将线段
OP绕点O逆时针旋转90°到OP′位置，则点P′的坐标为
A．（3，4）      B．（
4，3）  
C．（
3，4）      D．（4，
3）
11．如图，在半径为1的⊙O中，∠AOB=45°,则sinC的值为[来源:学科网ZXXK]
A．
       B．
 
C．
      D．

12．如右图所示，已知等腰梯形ABCD,AD∥BC，若动直
线
垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面
积为S，BP为
，则S关于
的函数图象大致是

二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）
13．分解因式：
                  .
14．若等腰三角形的一个内角为50°，则它的顶角为             .

15．如图，在Rt
ABC中，∠ACB=90°，
D是AB的中点，过D点作AB的垂线
交AC于点E，BC=6，
，
则DE=             .

16．设
，
是方程
的两实数根，则
        . 17．若抛物线
与x轴只有一个交点，且过点
，
.
则
             .

三、解答题（本大题共7小题，共69分）
18．（本题满分8分）
⑴计算：

⑵化简求值：


，其中

19．（本题满分9分）如图，在
ABC中，AB=AC，点D
是BC的中点，点E在AD上.
⑴求证：BE=CE；

⑵若BE的延长线交AC于点F，且BF⊥AC,垂足为
F，∠BAC=45°，原题设其它条件不变.
求证：
AEF≌
BCF.

20．（本题满分10分）经过某十字路口的汽车，它可能继续直行，也可能向左转或向右转，
如果这三种情况是等可能的，当三辆汽车经过这个十字路口时：
⑴求三辆车全部同向而行的概率；
⑵求至少有两辆车向左转的概率；
⑶由于十字路口右拐弯处是通往新建经济开发区的，因此交管部门在汽车行驶高峰时
段对车流量作了统计，发现汽车在此十字路口向右转的频率为
，向左转和直行的频
率均为
.目前在此路口，汽车左转、右转、直行的绿灯亮的时间分别为30秒，在绿
灯亮总时间不变的条件下，为了缓解交通拥挤，请你用统计的知识对此路口三个方向
的绿灯亮的时间做出合理的调整.
21．（本题满分10分）A、B两市相距150千米，分别从A、B处测得国家级风景区中心C
处的方位角如图所示，风景区区域是以C为圆心，45千米为半径的
圆，tanα=1.627，
tanβ=1.373.为了开发旅游，有关部门设计修建连接AB两市的高速公路.问连接AB高速
公路是否穿过风景区，请说明理由.

22．（本题满分10分）为了节约资源，科学指导居民改善居住条件，小王向房管部门提出
了一个购买商品房的政策性方案.
人均住房面积（平方米）
单
价（万元/平方米）

不超过30（平方米）[来源:学科网ZXXK]
0.3

超过30平方米不超过
（平方米）部分（45≤
≤60）
0.5

超过
平方米部分
0.7

根据这个购房方案：
⑴若某三口之家欲购买120平方米的商品房，求其应缴纳的房款；
⑵设该家庭购买商品房的人均面积为
平方米，缴纳房款y万元，请求出
关于x的
函数关系式；
⑶若该家庭购买商品房的人均面积为50平方米，缴纳房款为y万元，且 57<y≤60 时，
求
的取值范围.

23．（本题满分10分）如图1，正方形ABCD的边长为2，点M是BC的中点，P是线段
MC上的一个动点（不与M、C重合），以AB为直径作⊙O，过点P作⊙O的切线，
交AD于点F，切点为E.
⑴求证：OF∥BE；
⑵设BP=
，AF=
，求
关于
的函数解析式，并写出自变量
的取值范围；
⑶延长DC、FP交于点G，连接OE并延长交直线DC与H（图2），问是否存在点P，
使
EFO∽
EHG(E、F、O与E、H、G为对应点)，如果存在，试求⑵中
和
的
值，如果不存在，请说明理由.

24．（本题满分12分）已知关于
的二次函数
的图象与关于
的函
数
的图象交于两点
、
；

⑴当
0，1时，求AB的长；
⑵当
为任何值时，猜想AB的长是否不变？并证明你的猜想.
⑶当
=0，无论
为何值时，猜想
AOB的形状. 证明你的猜想.
（平面内两点间的距离公式
）.

荆门市2013年初中毕业生学业水平及升学考试
数学参考答案及评分标准

选择题（每小题3分，共36分）
1~6  DCBCCA    7~12 BACCBA
填空题（每小题3分，共15分）
13、（x-8）?(x+8)         14、50°或80°     15、
     16、2014     17、9
解答题（本题包括7个小题，共69分）
18、（共8分）
解：（1）原式=1+2
1

×
=
1   ………………………4＇
（2）原式=
                
 代入
值得原式=
             ………………………4＇  

19、证明：（1）∵AB=AC ，D是BC的中点
∴∠BAE=∠EAC
在
ABE和
ACE 中，
∵AB=AC, ∠BAE=∠EAC,AE=AE
∴
ABE≌
ACE
∴BE=CE                       ………………………5＇ 
(2) ∵∠BAC=45°,BF⊥AF
∴
ABF为等腰直角三角形，∴AF=BF,
由（1）知AD⊥BC
∴∠EAF=∠CBF[来源:Z#xx#k.Com]
在
AEF和
BCF中,AF=BF, ∠AFE＝∠BFC=90°∠EAF=∠CBF
∴
AEF≌
BCF                        ………………………4＇

20、根据题意，画出树形图

P（三车全部同向而行）=
                  …
……………………4＇
（2）P（至少两辆车向左转）=
           ………………………3＇
（3）由于汽车向右转、向左转、直行的概率分别为
，在不改变各方向绿灯亮的总时间的条件下，可调整绿灯亮的时间如下：
左转绿灯亮时间为90×3/10=27（秒），直行绿灯亮时间为90×3/10=27（秒）
右转绿灯亮的时间为90×2/5=36（秒）                 ………………………3＇

21、AB不穿过风景区.
如图，过C作CD⊥AB与D，                                  
AD=CD·tanα；BD=CD·tan
β                       ………………………4＇
由AD+DB=AB，得CD·tanα+CD·tanβ=AB          ………………………2＇
CD=
=
（千米）   ……………………3＇
∵CD=50＞45 ∴高速公路AB不穿过风景区.              ………………………1＇
22、解：（1）三口之家应缴购房款为0.3×90＋0.5×30=42（万元）…………………4＇
（2）①当0≤x≤30
时,y=0.3×3x=0.9x                        
②当30＜x≤m时,y=0.9×30+0.5×3×(x-30)=1.5x-18       
③当x＞m时,y=1.5m-18+0.7×3×(x-m)=2.1x-18-0.6m       
          0.9x             (0≤x≤30)
1.5x-18          (
30＜x≤m）   (45≤m≤60) ………3＇[来源:Zxxk.Com]
2.1x－18－0.6m  （x＞m）
(3) ①当50≤m≤60时，y=1.5×50-18=57(舍)                    
②当45≤m﹤50时,y=2.1×50
0.6m-18=87－0.6m             
∵57＜87
－0.6m≤60                                    
∴45≤m＜50
综合①②得45≤m＜50.                                   ……………3＇

23、（1）证明：连接OE
FE、FA是⊙O的两条切线
∴∠FA
O=∠FEO=90°
FO=FO，OA=EO
∴Rt△FAO≌Rt△FEO
∴∠AOF=∠EOF=
∠AOE
∴∠AOF=∠ABE
∴OF∥BE                                                ………………4＇
（2）、过F作FQ⊥BC于Q
∴PQ=BP－BQ=x－y
PF=EF＋EP=FA＋BP=x＋y
∵在Rt△PFQ中
∴
＋

∴
化简得
，（1＜x＜2） ………………3＇
（3）、存在这样的P点
∵∠EOF=∠AOF
∴∠EHG=∠EOA=2∠EOF
当∠EFO=∠EHG=2∠EOF时
即∠EOF=30°时，Rt△EFO∽Rt△EHG       
此时Rt△AFO中，y=AF=OA·tan30°=



∴当
时，△EFO∽△EHG           ………………3＇

24、解：
（1）当m=0时，
联立  
得

  ∴x
＋x
=1   x
·x
=－1                       
    
AB=
AC=
| x
- x
|=

=

同理，当k=1，m=1时，AB=
                            ………………4＇
(2)猜想：当k=1，m为任何值时，AB的长不变，即AB=

下面证明： 联立     y=x
-2mx+m
+m
                    y=x+1
  消y整理得   x
-（2m+1）x+m
+m-1=0
∴x
＋x
=2m+1 ，x
·x
= m
+m-1         
AB=
AC=
| x
- x
|=

=
，  ………………4＇
(3)当m=0，k为任意常数时，三角形AOB为直角三角形，

①当k=0时，则函数的图像为直线y=1,          则 由     y=x

 y=1     
得A（－1,1），B（1，1）
显然
AOB为直角三角形      
②当k=1时，则一次函数为直线y=x+1,    
则 由     y=x

               y=x+1        x
-x-1=0     
   
x
＋x
=1   x
·x
=-1
AB=
AC=
| x
- x
|=

=
A(x
,y
) 、 B(x
,y
) 
∴AB 2=10
OA2+OB2=x
2+ y
2+x
2+ y
2=10
∴AB2=OA 2+OB 2                                                      
(3)当k为任意实数，
AOB仍为直角三角形 
联立     y=x

         y=kx+1
  得   x
-kx-1=0
x
＋x
=k   x
·x
= -1
AB2=(x
-x
)2-+ (y
-y
)2=k
+5k 2+4
OA 2+OB 2=x
2+ y
2+x
2+ y
2=k
+5k 2+4
∴AB2=OA 2+OB 2     ∴
AOB为直角三角形            ……………4＇