2013年中考数学试题（江苏南通卷）
（本试卷满分150分，考试时间120分钟）
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）
1．下列各数中，小于－3的数是【    】
A．2            B．1            C．－2            D．－4
【答案】D。
2．某市2013年参加中考的考生人数约为85000人，将85000用科学记数法表示为【    】
A．
            B．
            C．
           D．

【答案】A。
3．下列计算，正确的是【    】
A．
            B．
            C．
           D．

【答案】C。
4．下面的几何体中，既是轴对称图形又是中心对称图形的个数是【    】


A．4   
   B．3       C．2       D．1
【答案】C。
5．有3cm，6cm，8cm，9cm的四条线段，任选其中的三条线段组成一个三角形，则最多能组成三角形的个数为【    】
A．1         B．2        C．3        D．4
【答案】C。
6．函数
中，自变量x的取值范围是【    】
A．x＞1          B．x≥1          C．x＞－2  
       D．x≥―2
【答案】A。
7．如图，用尺规作出∠OBF=∠AOB，所画痕迹
是【    】


 A．以点B为圆心，OD为半径的弧
B．以点C为圆心，DC为半径的弧
C．以点E为圆心，OD为半径的弧
D．以点E为圆心，DC为半径的弧
【答案】D。
8．用如图所示的扇形纸片制作一个圆锥的侧面，要求圆锥的高是4 cm，底面周长是6π cm，则扇形的半径为【    】


A．3cm          B．5cm          C．6cm         D．8cm
【答案】B。
9．小李和小陆从A地出发，骑自行车沿同一条路行驶到B地，他们离出发地的距离S（单位：km）和行驶时间t（单位：h）之间的函数关系的图象如图所示，根据图中的信息，有下列说法：
（1）他们都行驶了20 km；
（2）小陆全程共用了1.5h；
（3）小李和小陆相遇后，小李的速度小于小陆的速度
（4）小李在途中停留了0.5h。
其中正确的有【    】


A．4个            B．3个            C．2个           D．1个
【答案】A。
10．如图，Rt△ABC内接于⊙O，BC为直径，AB=4，AC=3，D是
的中点，CD与AB的交点为E，则
等于【    】


A．4          B．3.5           C．3           D．2.5
【答案】C。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．反比例函数
的图象经过点（1，2），则k=   ▲   。
【答案】2。
12．如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠BOD=200，则∠COE等于   ▲   度。


【答案】70。
13．一个几何体的主视图、俯视图和左视图都是大小相同的圆，则这个几何体是   ▲   ．
【答案】球。
14．如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，已知CD=2，AC=3，则sinB的值是   ▲   。


【答案】
。
15．已知一组数据5，8，10，x，9的众数是8，那么这组数据的方差是   ▲   。[来源:]
【答案】
。
16．如图，经过点B（－2，0）的直线
与直线
相交于点A（－1，－2），则不等式
的解集为   ▲   。


【答案】
。
17．如图，在
ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=
cm，则EF＋CF的长为   ▲   cm。


【答案】5。
18．已知
和
时，多项式
的值相等，且
，则当
时，多项式
的值等于   ▲   。
【答案】3。
三、解答题（本大题共10小题，满分96分）
19．
（1）计算：
。    
【答案】解：原式=2＋1－3=0。
（2）先化简，再求代数式的值：
，其中m＝1。
【答案】解：原式=
。
            当m＝1时，原式=
。
20．在平面直角坐标系xOy中，已知A（－1，5），B（4，2），C（－1，0）三点。
（1）点A关于原点O的对称点A′的坐标为   ▲   ，点B关于x轴对称点B′的坐标为   ▲   ，点C关于y轴对称点C′的坐标为   ▲   ；
（2）求（1）中的△A′B′C′的面积。
【答案】解：（1）（1，－5）；（4，－2）；（1，0）。
           （2）如图，△A′B′C′的面积
。


21．某水果批发市场将一批苹果分为A，B，C，D四个等级，统计后将结果绘成条形图，已知A等级苹果的重量占这批苹果总重量的30%。回答下列问题：
（1）这批苹果总重量为   ▲   kg；
（2）请将条形图补充完整；
（3）若用扇形图表示统计结果，则C等级苹果所对应扇形圆心角为   ▲   度。


【答案】解：（1）4000。
（2）条形图补充完整如下：


（3）90。
22．在不透明的袋子中有四张标有数字1，2，3，4的卡片，小明、小华两人按照各自的规则玩抽卡片游戏。
小明画出树形图如下：


小华列出表格如下：
          第一次
第二次
1
2
3
4

1
（1，1）
（2，1）
（3，1）
（4，1）

2
（1，2）
（2，2）
①
（4，2）

3
（1，3）
（2，3）
（3，3）
（4，3）

4
（1，4）
（2，4）
（3，4）
（4，4）

回答下列问题：
（1）根据小明画出的树形图分析，他的游戏规则是：随机抽出一张卡片后   ▲   （填“放回”或“不放回”），再随机抽出一张卡片；
（2）根据小华的游戏规则，表格中①表示的有序数对为   ▲   ；
（3）规定两次抽到的数字之和为奇数的获胜，你认为淮获胜的可能性大？为什么？
【答案】解：（1）放回。
（2）（3，2）。
（3）理由如下：
     ∵根据小明的游戏规则，共有12种等可能结果，数字之和为奇数的有8种，
     ∴概率为：
。
   ∵根据小华的游戏规则，共有16种等可能结果，数字之和为奇数的有8种，
     ∴概率为：
。
     ∵
，∴小明获胜的可能性大。
23．若关于x的不等式组
恰有三个整数解，求实数a的取值范围。
【答案】解：解
得：
；
　　　　　　解
得：
。
　　　　　　∴不等式组的解为
。
　　　　　　∵关于x的不等式组
恰有三个整数解，
　　　　　　∴
，解得
。
∴实数a的取值范围为
。
24．如图，AB=AC，AD=AE，DE=BC，且∠BAD=∠CAE。
求证：四边形BCDE是矩形。


【答案】证明：∵∠BAD=∠CAE，∴∠BAE=∠CAD。
在△ABE和△ACD中，
∵AB=AC，AE=AD，∠BAE=∠CAD，∴△ABE≌△ACD（SAS）.
∴BE=CD。
又∵DE=BC，∴四边形BCDE为平行四边形。
如图，连接BD,AC,
在△ACE和△ABD中，
∵AC=AB，AE=AD，∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD（SAS），∴CE=BD。
∴四边形BCED为矩形（对角线相等的平行四边形是矩形）.
25．如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，∠BAC=2∠B，⊙O的切线AP与OC的延长线相交于点P。若
，求AC的长。


【答案】解：∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=900。
又∵∠BAC=2∠B，∴∠B=300，∠BAC=600。
又∵OA=OC，∴△OAC是等边三角形。∴∠AOC=600。
∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP=900。
在
中，
，∠AOP=600，∴
。
∴AC=OA=6。
26．某公司营销A，B两种产品，根据市场调研，发现如下信息：
信息1：销售A种产品所获利润ｙ（万元）与所售产品x（吨）之间存在二次函数关系
。
当x＝1时，ｙ＝1.4；当x＝3时，ｙ＝3.6。
信息2：销售B种产品所获利润ｙ（万元）与所售产品x（吨）之间存在正比例函数关系
。
根据以上信息，解答下列问题：
（1）求二次函数解析式；
（2）该公司准备购进A，B两种产品共10吨，请设计一个营销方案，使销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是多少？
【答案】解：（1）将（1，1.4），（3，3.6）代入
，得

，解得
。
∴二次函数解析式为
。
（2）设购进A产品m吨，购进B产品10－m吨，销售A，B两种产品获得的利润之和为W万元。则
    

　 　∵
，∴当m＝6时，W有最大值6.6。
∴购进A产品6吨，购进B产品4吨，销售A，B两种产品获得的利润之和最大，最大利润是6.6万元。
27．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=
，BC=3，△DEF是边长为a（a为小于3的常数）的等边三角形，将△DEF沿AC方向平移，使点D在线段AC上，DE∥AB，设△DEF与△ABC重叠部分的周长为T。
（1）求证：点E到AC的距离为一常数；
（2）若AD=
，当a=2时，求T的值；
（3）若点D运动到AC的中点处，请用含a的代数式表示T。


【答案】解：（1）证明：如图，过点E作EH⊥AC于点H，则EH即为点E到AC的距离。
∵在Rt△ABC中，∠ACB=900，AC=
，BC=3，
∴
。∴∠A=600。
∵DE∥AB，∴∠EDH=∠A=600。
∵DE=a（a为小于3的常数），
∴
（常数）。
∴点E到AC的距离为一常数。
（2）当a=2时，
。
    ∵AD=
，∴AH=
。∴此时，点H在在线段AC上。
　　∴此时，△DEF与△ABC重叠部分就是△DEF。
　　∴
。
（3）当点D运动到AC的中点处时，
，
由
得，
，解得
。
∴分两种情况：
①当
时，点H在线段AC上，此时，△DEF与△ABC重叠部分就是△DEF。
∴
。
②当
时，点H在线段AC的延长线上，如图，此时，△DEF与△ABC重叠部分就是△DCG。
根据三角形中位线定理，点G是BC的中点，
∴CD=
，CG=
,DG=
。
∴
。
综上所述，
。
28．如图，直线
与抛物线
相交于A
，B
两点，与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，设△OCD的面积为S，且
。
（1）求b的值；
（2）求证：点
在反比例函数
的图象上；
（3）求证：
。


【答案】解：（1）∵直线
与x轴正半轴相交于点D，与y轴相交于点C，
                ∴令x=0，得
；令y=0，得
。∴OC=
，OD=
。
                ∴△OCD的面积
。
                ∵
，∴
，解得
。
                ∵
，∴
。
           （2）证明：由（1），直线解析式为
，即
，代入
，得
，
                整理，得
。
                ∵直线
与抛物线
相交于A
，B
，
                ∴
，
是方程
的两个根。
                ∴根据一元二次方程根与系数的关系，得
。
                ∴点
在反比例函数
的图象上。
（3）证明：由勾股定理，得
，
     由（2）得
。
     同理，将
代入
，得
，即
，∴
。
     ∴
。
     又
，∴
。
    ∴△OAB是直角三角形，即∠AOB=900。
    如图，过点A作AE⊥x轴于点E，过点B作BF⊥x轴于点F，
    ∵∠AOB=900，
    ∴∠AOE=900-∠BOF=∠OBF。
    又∵∠AEO =∠OFB=900，
    ∴△AEO∽△OFB。∴
。
    ∵OE=
，BF=
，∴
。
    ∴
。