宜宾市2013年拔尖创新人才培养试点班招生文化测试
数 学 试 卷
(考试时间120分钟； 全卷满分150分)
注意事项：1.答题前，请务必将学校名称、姓名和考号填写在密封线内相应位置.
          2.直接在试题卷上作答，不得将答案写到密封线内，不得另加附页
一、选择题(本大题共8小题，每小题5分，共40分)在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填在括号内.
1.在函数y =  中，自变量x的取值范围是(     )
  A.x > 2    B.x ≥ 2    C.x < 2   D. x ≤ 2
2.下列计算正确的是(   )
  A. 2a+3a =5a2    B. (–a3 ) 2=a 6   
C.a 8÷a 2= a 4      D. a 3( a 2= a 6
3.由若干个相同的小正方体搭成的一个几何体的
三视图如图所示，则这个几何体由(   )个小正方
体搭成.
A. 9     B. l 0    C .11    D. 12
4.二果问价源于我国古代《四元玉鉴》：“九百九十九文钱，甜果苦果买一千，甜果九个十一文，苦果七个四文钱，试问甜苦果几个？”则甜果、苦果的个数分别是(    )
 A .648、352    B. 650、350    C. 657、343    D.666、334
5.如图，为了测得电视塔的高度EC，在D处用高2米的测角仪AD，测得电视塔顶端E的仰角为45°，再向电视塔方向前进100米到达B处，又测得电视塔顶端E的仰
角为60°，则电视塔的高度EC为（   ）
A.（50+152）米    B.（52+150）米C.（50+150）米    D．（52+152）米

6.如图，矩形纸片ABCD中，AB =2，AD =6，将其折叠，使点D与点B重合，得折痕EF．则tan∠BFE的值是（   ）
A．   B．1   C．2   D．3
7.已知关于x的一元二次方程x2+6x+m = 0的两个根恰好比方程x2+ mx +n = 0的两个根都大l，则m+n的值为(     )
A． 7    B．23    C．3    D．–1或23
8.已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠o)的图象如图所示，下列结论中：①a+b<0；②abc>0；③a+b>n (a n+b)(n≠1) ；④a+c=–l ，其中正确的结论是(    )
A．②③  B． ①②④  C．③④   D．①④
二、填空题(本大题共8小题，每小题4分，共32分)请把答案直接填在题中横线上.
9.投掷一枚普通正六面体骰子，掷得点数大于4的概率是             .
10.分解因式：m+m2–2mn + n2–n =                       .  
11. +  + … +  =              .
12.已知关于x、y的方程组 的解是正数，
则a的取值范围                  .
13．已知Rt△ABC的两直角边边长分别为5、12，若将
其内切圆挖去，则剩下部分的面积等于         .
14．如图，五边形ABCDE中，∠B=∠E= 90°，AB=CD
=AE=BC+DE =2，则这个五边形的面积是       .
15．在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点(x，y)为整点，给出下列命题：①直线y=x+，满足既不与坐标轴平行又不经过任何整点；②如果k与b都是无理数，则直线y= kx+b不经过任何整点；③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；④存在恰经过一个整点的直线．
则其中真命题的是                  (写出所有真命题的编号) .
16．如图l，一个直径为l的小圆沿着直径为2的大圆的内壁逆时针方向滚动，M和N是小圆的一条固定直径的两个端点.那么，当小圆这样滚过大圆内壁的一周时，请将点M、N在大圆内运动所形成的痕迹绘制在图2中．

三、解答题(本大题共6小题，共78分)解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分l2分)
某学校在落实国家“营养餐”工程中，选用了A、B、C、D、E五种不同类型的套餐，实行一段时间后，学校决定在全校范围内随机抽取部分学生对“你喜欢的套餐类型(必选且只选一种)”进行问卷调查，将调查情况整理后，绘制成如图所示的统计图．

请你根据以上信息解答下列问题：
(1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生?并补全条形统计图；
(2)如果全校有l200名学生，请你估计全校学生中喜欢占与D两种套餐的学生共有多少名？

18．(本小题满分l2分)
如图，—次函数y=kx1十b与反比例函数y=  (x<0) 的图象交于点P (–2，1)、Q (–1，m)
  (1)求一次函数与反比例函数的解析式；
  (2)在x轴上取一点E，使线段EP+EQ最小时，求四边形OEPQ的面枳．

19．(本小题满分l3分)
已知：E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，如图所示．
(1)探究四边形EFGH的形状，并证明；
(2)当四边形EFGH是正方形时，请指出四边形ABCD的对角线的关系，并说明理由，
(3)猜想四边形EFGH的面积与四边形ABCD的面积的关系，并说明理由．

20．(本小题满分13分)
     某市为了解城市的交通状况，交通部门对某段道路车辆通行能力进行调查．一般情况下，在这段道路上通行的车流速度v (单位：千米／小时)是车流密度x (单位：辆／千米)的函数．当车流密度达到300辆／千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过30辆／千米时，车流速度均为54千米／小时，调查表明：当30≤ x ≤300时，车流速度v是车流密度x的一次函数．
    (1)当0≤ x ≤300时，求车流速度v与车流密度x的函数关系式；
    (2)当车流密度x为多大时，车流量y(车流量=车流密度×车流速度，单位：辆／小时)可以达到最大，并求出最大值．

21．(本小题满分14分)
    如图，⊙N的圆心N在以AF为直径的⊙M上，⊙M的弦AE所在的直线与⊙N相切于D点，⊙M与⊙N其中的一个交点为C，AC交⊙N于B点，连结NE、AN，设⊙N、⊙M的半径分别为2和3．
(1)求证：AN·NE = 12；
(2)若AD = ，求BC的长．

22．（本小题满分l4分)
  如图，抛物线y = ax2过点A (1，1)，点B (m，n)在抛物线上运动，在线段AB上取一点Q，使
得BQ=2QA．
  (1)当点B的横坐标m=–2时，求点Q的坐标；
  (2)过Q点作x轴的垂线交抛物线于点M，在线段QM的延长线上取一点P，使得QM=2MP，
求点P(x，y)的纵坐标y与横坐标x满足的解析式．

宜宾市2013年拔尖创新人才培养试点班招生文化测试
数学试题答案及评分意见
   说明：
  一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可比照评分意
见制订相应的评分细则．
  二、对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内
容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分教的一半．
如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分．
  三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数
四、只给整教分数，选择题和填空题不给中间分．
一、选择题(每小题5分，共40分)
题号
1
2
3
4
5
6
7
8

答案
A
B
B
C
A
D
B
D

二、填空题(每小题4分，共32分)
9. ；        10．(m–n)( m–n+1) ；    11．2；        12．–9 < a < 9；
13．30–4π；   14．4；                15．①③④；               16.
三、解答题(本大题共6个题，共78分)
17．解：(1)    = 200，
        ∴在这次调查中，一共抽取了200名学生．
        补全的条形统计图如图所示．

(2)  ( 100 % (1200 = 540
答：估计全校学牛中喜欢B和D两种套餐的学生共有540名．
1 8．解(1)∵y=  (x<0)过P(2，1)，∴k2 = –2，∴y = –  (x<0)
         ∴Q(–l，m)代人y = –  得：∴m = 2 ∴Q (–1，2)
把P(–2，1)，Q (–1，2)代人y=kx1十b，得：
∴k1=1，b =3    ∴y= x+3
     (2)作点P关于x轴的对称点P’，连结P’Q交x轴于点E，连结PE、OQ
       设直线P’Q的关系式为y= ax+c (a ≠ 0)，
把P’(–2，–l )，Q(–1，2)代入上式求得 
        ∴y =3x+5  ∴E(– ，0)  
        设PQ与x轴的交点为F ，∴F(–3，0)
        ∴S四边形OEPQ =S△OFQ –S△EFP = 
19．解：连结AC、BD且交于点M，
(1)∵ E、H分别是四边形ABCD边AB、AD的中点，
       ∴ EH
BD ，同理可得，FG
BD
       ∴ EH
FG
       ∴ 四边形EFGH是平行四边形
 (2)四边形ABCD的对角线的关系AC与BD垂直且相等，理由如下：
  ∵E、F、G、H分别是四边形ABCD各边的中点，
∴BD
2EH，AC
2EF，且∠HEF=∠AMB
  ∵四边形EFGH是正方形，∴EH= HG．∠NEF =90°．
  ∴BD=AC，∠NMB = 90°。
  ∴四边形ABCD的对角线的关系AC与BD垂直且相等.
  (3)四边形EFGH的面积是四边形ABCD的面积的 ，理由如下：
设AC与EH、FG分别交于点N、P，BD与EF、HG分别交于点K、Q
 ∵ E是AB的中点，EF∥AC，EH∥BD
  ∴易证△EBK∽△ABM，△AEN∽△EBK
∴ =  ，S△AEN  = S△AEN
∴ = ，同理可得 = ， = ， = 
∴ = 
20解：(1)当0≤x≤30时，v=54；
        当30≤ x ≤300时，设v与x的一次函数关系为v= kx+b (k ≠0 )，
由已知得，解得  
  综上所述，v的表达式为 v = 
(2)依题意，并由（1）可得 y= 
当0≤x<30时，y随x的增大而增大，其最大值小于1620；
  30≤x ≤300时，y= –  (x–l50)2+4500，故当x=150时，其最大值为4500；
综上所述，故当x=150辆／千米时，车流量的最大值为4500辆／小时.
21．证明：(1)连结FN、ND，
∵AF为⊙M的直径．AD切⊙N于D点，
∴∠NDE=∠ANF=90°   
∵A、F、N、E四点在⊙M上，
∴∠DEN =∠NFA． 
∴△DEN ∽△NFA，
∴ = ，
∴AN·NE=ND·AF=2(2 (3 = 12
(2)连结NB、NC，过点N作NG ⊥ BC，垂足为G，
在Rt△AND中，AD = ，DN=2，则AN=5，
在Rt△AFN中，AF=2×3=6，AN=5，则FN = 
∴ cosC= cosF = ，
在Rt△NGC中，NC=2，∴CG=NC·cosC=  ( 2= 
∵NB=NC，∴BC=2CG=2(  = 
22解：(1)由点A在抛物线上，得a =1， 
由点B在抛物线上，
n=m2= 4 ，得：B（–2，4）
    过Q点作x轴的平行线EF，过点A、B作x轴
垂线分别交EF于F、E点，
设点Q (x1，y1)，E (–2，y1)，F(1，y1)，
又可证得：△QFA∽△QEB，
∴ =  =  = 2 ，EQ=2QF，EB=2AF，
EQ= x1+2，QF=1–x1，
∴x1+2=2(1–x1)，x1=0，
同理得：EB= 4–y1，AF= y1–1，4–y1=2 (y1–1)，y1=2
∴Q(0，2)
  (2)由题意知：Q，P，M三点在同一条垂直于x轴的直线上，
  点P(x，y)，则M (x，x2)，设Q(x，y1)，
  由QM=2MP得：y1–x2 =2(x2–y)， y1=3x2–2y  ①
  由(1)知：EQ=2QF，EB=2AF，
  EQ = x – m，QF=1–x，x–m= 2(1–x)    ②
  EB = n–y1，AF= y1–1，n–y1= 2 (y1–1)  ③
由②得：m = 3x –2
  由③得：n =3yl–2=3(3x2–2y)–2= 9x2–6y–2 ，
  又由点B在抛物线上，∴n= m2，即：9x2–6y–2= ( 3x –2)2
  解得：y=2x–1