福建省各地2014届高三最新模拟数学理试题分类汇编

一、选择题
1、（福建省四地六校2014届高三12月第三次月考）已知函数

，则
、
、
的大小关系（   ）
A．
>
>
      B．
>
>

C．
>
>
      D．
>
>

答案：B
2、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）设函数
是定义在R上的函数，其中
的导函数
满足
对于
恒成立，则（    ）
A．
  B．

C．
 D．

答案：C
3、（福建省莆田四中2014届高三上学期期中考试）若函数
的导函数为
，且
，则
在
上的单调增区间为(     )
   A.
         B.
        C.
和
      D.
和
 
答案：D
4、（福建省清流一中2014届高三上学期期中考试）已知函数
的对称中心为
，记函数
的导函数为
，
的导函数为
，则有
．若函数
，则可求得
（   ）
A.
      B．
     C.
      D．

答案：D
5、（福建省清流一中2014届高三上学期期中考试）已知
为
上的可导函数，当
时，
，则关于
的函数
的零点的个数为（     ）
A．0        B．1        C．2         D．0或2
答案：A
6、（福建省泉州一中2014届高三上学期期中考试）设函数
，以下关于
的导函数
说法正确的有（B）
①其图像可由
向左平移
得到；     ②其图像关于直线
对称；
③其图像关于点
对称；                   ④在区间
上是增函数．
A．①②③ B．②③④ C．③④ D．①②③④
答案：B
二、填空题
1、（福建省安溪八中2014届高三12月月考）曲线
在点
处的切线方程为____▲▲▲ __；
答案：

2、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）已知函数
在区间
上是增函数，则实数
的取值范围是    ．
答案：

3、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）曲线
在点
处的切线方程为  ___________________
答案：

4、（福建省福州市第八中学2014届高三第二次质检）已知函数
在区间
上有极大值和极小值，则实数
的取值范围是             .     
答案：

5、（福建省福州市第八中学2014届高三第二次质检）已知函数
的定义域为
，部分对应值如下表，
的导函数
的图象如图所示.  下列关于
的命题：

①函数
的极大值点为
，
；
②函数
在
上是减函数；
③如果当
时，
的最大值是2，那么
的最大值为4；
④当
时，函数
有
个零点；
⑤函数
的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是                            ．
答案：①②⑤
6、（福建省南安一中2014届高三上学期期中考试）曲线
在点
处的切线方程为___________________.
答案：2x－y＋1＝0

三、解答题
1、（福建省安溪八中2014届高三12月月考）已知函数
满足
,当
时,

,当
时,
的最大值为-4．
(I)求实数
的值；
(II)设
，函数
，
．若对任意的
,总存在
,使
,求实数
的取值范围．
答案：


（II）设
的值域为A，
的值域为B，则由已知，对于任意的


，使
得，
． 
由（I）
=-1，当
时,
,
,
∵
,∴
，
在
上单调递减函数,
∴
的值域为 A=
………．．∵
,
∴（1）当
时，
在
上是减函数，此时，
的值域为
，
为满足
，又
∴
即
．  …………．12分
（2）当
时，
在
上是单调递增函数，此时，
的值域为
，为满足
，又,∴
,∴
,
综上可知b的取值范围是
．  
2、（福建省四地六校2014届高三12月第三次月考）
已知函数
。
（Ⅰ）若
，求函数
的极值，并指出是极大值还是极小值；
（Ⅱ）若
，求证：在区间
上，函数
的图像在函数
的图像的下方。
 (1)解 由于函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，……………… 1分
   当a＝－1时，f′(x)＝x－
    ………… 2分
令f′(x)＝0得x＝1或x＝－1(舍去)，  …………3分                      
 当x∈(0,1)时，f′(x)<0，  因此函数f(x)在(0,1)上是单调递减的，…………  4分
 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，因此函数f(x)在(1，＋∞)上是单调递增的，…… 5分
     则x＝1是f(x)极小值点，
所以f(x)在x＝1处取得极小值为f(1)=
         …………6 分  
  (2)  证明      设F(x)＝f(x)－g(x)＝
x2＋ln x－
x3，  
则F′(x)＝x＋
－2 x2＝
，  …………9分
当x>1时，F′(x)<0，        ………………………         10分
故f(x)在区间[1，＋∞)上是单调递减的，………………………   11分   
 又F(1)＝－<0，………………………12分
∴在区间[1，＋∞)上，F(x)<0恒成立．即f(x)—g(x)<0 恒成立
即f(x)<g(x)恒成立.     
因此，
当a＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f(x)的图像在函数g(x)图像的下方．…13分
3、（福建省长乐二中等五校2014届高三上学期期中）设函数
。
（1）如果
，求函数
的单调递减区间；
（2）若函数
在区间
上单调递增，求实数
的取值范围；
（3）证明：当m>n>0时，

答案：

（3）要证：
只需证

只需证

设
，                                     
则
             11分
由（1）知：即当
时，

在
单调递减，
即
时，有
，―――――――12分
∴
，所以

，即
是
上的减函数，   13分
即当m>n>0，∴
，故原不等式成立。         14分

4、（福建省东山第二中学2014届高三上学期期中）已知函数


Ⅰ
若
对于定义域内的任意
恒成立，求实数
的取值范围；

Ⅱ
设
有两个极值点
且

证明：

答案：


5、（福建省福州市第八中学2014届高三第二次质检）
已知

(Ⅰ)求函数
的单调区间;
(Ⅱ)对一切的
,
恒成立,求实数
的取值范围.

【解析】(Ⅰ)


………………3分



增
………………6分
(Ⅱ)由题意:
在
上恒成立
即

可得
………………8分
设
,
则
……10分
令
,得
(舍)
当
时,
;当
时,


当
时,
取得最大值,

=-2

.………………………………………………14分

6、（福建省俊民中学、梧桐中学2014届高三上学期期中联考）
已知函数
，其中
．
   （Ⅰ）求证：函数
在区间
上是增函数；
   （Ⅱ）若函数
在
处取得最大值，求
的取值范围．

（Ⅰ）证明：
．
           因为
且
，所以
．
 所以函数
在区间
上是增函数．  
（Ⅱ）由题意
.
则
.   
令
，即
. ①
由于
，可设方程①的两个根为
，
，
由①得
，
由于
所以
，不妨设
，

．
        当
时，
为极小值，
所以在区间
上，
在
或
处取得最大值；
 当
≥时，由于
在区间
上是单调递减函数，所以最大值为
，
综上，函数
只能在
或
处取得最大值．     
又已知
在
处取得最大值，所以
≥
，
即
≥
，解得
≤
，又因为
，
所以
（
］． 
设函数f(x)=ex+sinx,g(x)=ax,F(x)=f(x)－g(x).
(Ⅰ)若x=0是F(x)的极小值点,求a的值；
(Ⅱ)当 a=1时,设P(x1,f(x1)), Q(x2, g(x 2))(x1≥0,x2≥0), 且PQ//x轴,求P、Q两点间的最短距离；
(Ⅲ)若x≥0时,函数y=F(x)的图象恒在y=F(－x)的图象上方,求实数a的取值范围．

解：(Ⅰ)F(x)= ex+sinx－ax,
.
因为x=0是F(x)的极值点,所以
.………2分
又当a=2时,若x<0,
;若 x>0,
.
∴x=0是F(x)的极小值点,  ∴a=2符合题意. ………4分
 (Ⅱ) ∵a=1, 且PQ//x轴,由f(x1)=g(x2)得:
,所以
.
令
当x>0时恒成立.
∴x∈[0,+∞
时,h(x)的最小值为h(0)=1.∴|PQ|min=1. ………8分
(Ⅲ)令

则

.
因为
当x≥0时恒成立,
所以函数S(x)在
上单调递增, ………10分
∴S(x)≥S(0)=0当x∈[0,+∞
时恒成立; 因此函数
在
上单调递增,
当x∈[0,+∞
时恒成立.当a≤2时,
,
在[0,+∞
单调递增,即
.故a≤2时F(x)≥F(－x)恒成立. ………12分


8、（福建省南安一中2014届高三上学期期中考试）已知函数
满足
,当
时,

,当
时,
的最大值为-4．
(I)求实数
的值；
(II)设
，函数
，
．若对任意的
,总存在
,使
,求实数
的取值范围．
答案：


（II）设
的值域为A，
的值域为B，则由已知，对于任意的


，使
得，
．   ……………．9分
由（I）
=-1，当
时,
,
,
∵
,∴
，
在
上单调递减函数,
∴
的值域为 A=
………．．10分∵
,
∴（1）当
时，
在
上是减函数，此时，
的值域为
，
为满足
，又
∴
即
．  …………．12分
（2）当
时，
在
上是单调递增函数，此时，
的值域为
，为满足
，又,∴
,∴
,
综上可知b的取值范围是
．    …………．14分

9、（福建省莆田四中2014届高三上学期期中考试）
已知函数

（Ⅰ）当
时，求曲线
在点
处的切线方程；
（Ⅱ）当
时，若
在区间
上的最小值为-2，求
的取值范围；
（Ⅲ）若对任意
，且
恒成立，求
的取值范围.
解：（Ⅰ）当
时，
.…………………………………2分
因为
.  所以切线方程是
………………4分
（Ⅱ）函数
的定义域是
.
当
时，

令
，即
， 
 所以
或
.……………………………………………5分
当
，即
时，
在［1，e]上单调递增，
所以
在［1，e]上的最小值是
；
当
时，
在［1，e]上的最小值是
，不合题意；
当
时，
在（1，e）上单调递减，
所以
在［1，e]上的最小值是
，不合题意…………9分
（Ⅲ）设
，则
，
只要
在
上单调递增即可. ……………………………………10分     
而

当
时，
，此时
在
上单调递增；………………11分
当
时，只需
在
上恒成立，因为
，只要
，
则需要
，……………………………………………………………12分
对于函数
，过定点（0，1），对称轴
，只需
，
即
. 综上
.  ………………………………14分
10、（福建省莆田一中2014届高三上学期期中考试）
已知函数
，
（
）
（1）若函数
存在极值点，求实数b的取值范围；
（2）求函数
的单调区间；
（3）当
且
时，令
，
(
)，
(
)为曲线y=
上的两动点，O为坐标原点，能否使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上？请说明理由
解：                                                     
（Ⅰ）
，若
存在极值点，
则
有两个不相等实数根。所以
，  ……………2分
解得
                                                    ……………3分
(Ⅱ)
                                         ……………4分
当
时，
，函数
的单调递增区间为
；           ……………5分
当
时，
，函数
的单调递减区间为
，单调递增区间为
。
……………7分
（Ⅲ） 当
且
时，
假设使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。则
且
。      ……………8分
不妨设
。故
，则
。

，
该方程有解          ……………………………9分
当
时，

，代入方程
得

即
，而此方程无实数解；              …………………………10分
当
时，
则
；                    …………11分
当
时，

，代入方程
得

即
，                          …………………………………12分
设
，则
在
上恒成立。
∴
在
上单调递增，从而
，则值域为
。
∴当
时，方程
有解，即方程
有解。               …………13分
综上所述，对任意给定的正实数
，曲线上总存在
两点，使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且斜边中点在y轴上。         ………………………………14分
11、（福建省清流一中2014届高三上学期期中考试）
已知函数

.
(Ⅰ)当
时，讨论
的单调性；
（Ⅱ）设
当
时，若对任意
，存在
，使
，求实数
取值范围.
解：(Ⅰ)
，    
令
，
    1°当
时，
，所以
       当
时，
，此时
，函数
单调递减；
当
时，
，此时
，函数
单调递增.
2°当
时，由
即
，解得

①当
时，
恒成立，此时
，
函数
在
上单调递减；
       ②当
，
        
时，
，此时
，函数
单调递减；
       
时，
，此时
，函数
单调递增；
       
时，
，此时
，函数
单调递减；
       ③当
时，由于
，
        
时，
,此时
，函数
单调递减；

时，
，此时
，函数
单调递增.
综上所述：
当
时，函数
在
单调递减，在
单调递增；
当
时，函数
在
，
上单调递减，在
单调递增；
当
时，函数
在
上单调递减；…………………………………8分
（Ⅱ）因为a=
，由（Ⅰ）知，
=1，
=3
，
当
时，
，函数
单调递减；
当
时，
，函数
单调递增，
所以
在
上的最小值为
   ………………………………10分
由于“对任意
，存在
，使
”等价于
“
在
上的最小值不大于
在（0,2）上的最小值
” （*）
又
=
，
，所以
①当
时，因为
，此时与（*）矛盾
②当
时，因为
，同样与（*）矛盾
③当
时，因为
，
解不等式
，可得

综上，b的取值范围是
。     ……………………………………14分

12、（福建省泉州一中2014届高三上学期期中考试）
已知函数
.
(Ⅰ)求函数
的图像在x=1处的切线方程;
(Ⅱ)求证:存在
,使
;
(Ⅲ)对于函数
与
定义域内的任意实数x,若存在常数k,b,使得
和
都成立,则称直线
为函数
与
的分界线.试探究函数
与
是否存在“分界线”?若存在,请证明,并求出k,b的值;若不存在,请说明理由.
解:(Ⅰ)
当x=1时，切点坐标为（1，-2），切线斜率为

，∴此时切线方程为：
……………………………………………3分
(Ⅱ)由(Ⅰ)
令
解得
令
解得
. 知
在(0,1)内单调递增,在
上单调递减,令
∴
  取
则


 
故存在
使
即存在
使
………………7分
(说明:
的取法不唯一,只要满足
且
即可)
(Ⅱ)设

则

则当
时,
,函数
单调递减;
当
时,
,函数
单调递增.
∴
是函数
的极小值点,也是最小值点, ∴

∴函数
与
的图象在
处有公共点(
). ………………………9分
设
与
存在“分界线”且方程为
,
令函数

①由
≥
,得
在
上恒成立,
即
在
上恒成立,
∴
, 即
, ∴
,故

………………………………………………………………………………………………11分
②下面说明:
, 即
恒成立.
设

则

∵当
时,
,函数
单调递增,
当
时,
,函数
单调递减,
∴当
时,
取得最大值0,
.
∴
成立.
综合①②知
且

故函数
与
存在“分界线”
, 此时
……14分
13、（福建省厦门一中2014届高三上学期期中考试）
已知函数
的图象与
的图象关于直线
对称。(Ⅰ) 若直线
与
的图像相切, 求实数
的值；(Ⅱ) 判断曲线
与曲线
公共点的个数. (Ⅲ) 设
，比较
与
的大小, 并说明理由.  
解：(Ⅰ) 由题意知
. ……………1分，设直线
与
相切与点
。∴
……………4分
(Ⅱ)  证明曲线
与曲线
有唯一公共点，过程如下。



，



∴曲线
与曲线
只有唯一公共点
.……………8分
(Ⅲ) 解法一：∵


……………9分
令
。

，且

∴
，∴

∴
                 ……………14分
解法二：
……………9分
以
为主元，并将其视为
，构造函数
，则

，且
                    ……………10分
∵
且
，∴
在
上单调递增，
∴当
时
，∴
在
上单调递增，
∴当
时，
                          ……………10分
∴
               ……………14分
14、（福建省仙游一中2014届高三上学期期中考试）
已知函数
的图象过坐标原点O,且在点
处的切线的斜率是
.
（Ⅰ）求实数
的值； 
（Ⅱ）求
在区间
上的最大值；
（Ⅲ）对任意给定的正实数
，曲线
上是否存在两点P、Q，使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上？说明理由.
20．解：（Ⅰ）当
时，
，则
。
依题意得：
，即
    解得
…………………2分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当
时，
，令
得
…….3分
当
变化时，
的变化情况如下表：




0









—
0
+
0
—





单调递减
极小值
单调递增
极大值

单调递减

……………4分
又
，
，
。∴
在
上的最大值为2…………5分
当
时,
.当
时,
,
最大值为0；
当
时,
在
上单调递增。∴
在
最大值为
。………6分
综上，当
时，即
时，
在区间
上的最大值为2；
当
时，即
时，
在区间
上的最大值为
。…7分
（Ⅲ）假设曲线
上存在两点P、Q满足题设要求，则点P、Q只能在
轴两侧。
不妨设
，则
，显然

∵
是以O为直角顶点的直角三角形，∴

即
    （*）若方程（*）有解，存在满足题设要求的两点P、Q；
若方程（*）无解，不存在满足题设要求的两点P、Q.
若
，则
代入（*）式得：

即
，而此方程无解，因此
。此时
，
代入（*）式得：
   即
   （**）
令

，则

∴
在
上单调递增，  ∵
    ∴
,
∴
的取值范围是
。∴对于
，方程（**）总有解，即方程（*）总有解。
因此，对任意给定的正实数
，曲线
上存在两点P、Q，使得
是以O为直角顶点的直角三角形，且此三角形斜边中点在
轴上。……………..14分