A组　基础演练
1．(2014·泉州质检)“直线与双曲线相切”是“直线与双曲线只有一个公共点”的
(　　)
A．充分而不必要条件　　　 B．必要而不充分条件
C．充要条件   D．既不充分也不必要条件
解析：与渐近线平行的直线也与双曲线有一个公共点．
答案：A
2．过点(0,1)作直线，使它与抛物线y2＝4x仅有一个公共点，这样的直线有
(　　)
A．1条   B．2条
C．3条   D．4条
答案：C
3．(2013·课标全国Ⅰ)已知椭圆E：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(3,0)，过点F的直线交E于A，B两点．若AB的中点坐标为(1，－1)，则E的方程为
(　　)
A.＋＝1   B.＋＝1
C.＋＝1   D.＋＝1
解析：直线AB的斜率k＝＝，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则
①－②得＝－·.
即k＝－×，
∴＝.　　　　　　③
又a2－b2＝c2＝9，　　　　④
由③④得a2＝18，b2＝9.
∴椭圆E的方程为＋＝1，故选D.
答案：D
4．设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是
(　　)
A．(0,2)   B．[0,2]
C．(2，＋∞)   D．[2，＋∞)
解析：∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知|MF|＝y0＋2.版权所有
由于以F为圆心、|FM|为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4＜y0＋2，∴y0＞2.21·cn·jy·com
答案：C
5．已知F1为椭圆C：＋y2＝1的左焦点，直线l：y＝x－1与椭圆C交于A、B两点，那么|F1A|＋|F1B|的值为________．【出处：21教育名师】
解析：椭圆焦点为(1,0)在直线l：y＝x－1上
椭圆顶点(0，－1)在直线l上．
由得3x2－4x＝0
∴x＝0，x＝
∴|F1A|＋|F1B|＝.
答案：
6．已知椭圆＋y2＝1的两个焦点为F1、F2，过F1作垂直于x轴的直线与椭圆相交，一个交点为P，则|PF2|＝________.www-2-1-cnjy-com
解析：将x＝－代入椭圆方程得yP＝，由|PF1|＋|PF2|＝4
?|PF2|＝4－|PF1|＝4－＝.


答案：
7．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于不同两点A、B，且AB的中点横坐标为2，则k的值是________．21教育网
解析：设A(x1，y1)、B(x2，y2)，由
消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，
由题意得
∴即k＝2.
答案：2
8．椭圆＋＝1(a＞b＞0)与直线x＋y－1＝0相交于P、Q两点，且OP⊥OQ(O为原点)．
(1)求证：＋等于定值；
(2)若椭圆的离心率e∈，求椭圆长轴长的取值范围．
解：(1)证明：由
消去y，得(a2＋b2)x2－2a2x＋a2(1－b2)＝0，①
∵直线与椭圆有两个交点，∴Δ＞0，
即4a4－4(a2＋b2)a2(1－b2)＞0
?a2b2(a2＋b2－1)＞0，
∵a＞b＞0，∴a2＋b2＞1.
设P(x1，y1)、Q(x2，y2)，则x1、x2是方程①的两实根．
∴x1＋x2＝，x1x2＝.②
由OP⊥OQ得x1x2＋y1y2＝0，
又y1＝1－x1，y2＝1－x2，
得2x1x2－(x1＋x2)＋1＝0.③
式②代入式③化简得a2＋b2＝2a2b2.④
∴＋＝2.
(2)利用(1)的结论，将a表示为e的函数
由e＝?b2＝a2－a2e2，
代入式④，得2－e2－2a2(1－e2)＝0.
∴a2＝＝＋.
∵≤e≤，∴≤a2≤.
∵a＞0，∴≤a≤.
∴长轴长的取值范围为[，]．
9．已知抛物线C：y2＝4x，过点A(－1,0)的直线交抛物线C于P、Q两点，设＝λ.
(1)若点P关于x轴的对称点为M，求证：直线MQ经过抛物线C的焦点F；
(2)若λ∈，求|PQ|的最大值．
解：(1)证明：设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，M(x1，－y1)．
∵＝λ，∴x1＋1＝λ(x2＋1)，y1＝λy2，
∴y＝λ2y，y＝4x1，y＝4x2，x1＝λ2x2，
∴λ2x2＋1＝λ(x2＋1)，λx2(λ－1)＝λ－1，
∵λ≠1，∴x2＝，x1＝λ，又F(1,0)，
∴＝(1－x1，y1)＝(1－λ，λy2)
＝λ＝λ，
∴直线MQ经过抛物线C的焦点F.
(2)由(1)知x2＝，x1＝λ，
得x1x2＝1，y·y＝16x1x2＝16，
∵y1y2＞0，∴y1y2＝4，
则|PQ|2＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2
＝x＋x＋y＋y－2(x1x2＋y1y2)
＝2＋4－12
＝2－16，
λ∈，λ＋∈，
当λ＋＝，即λ＝时，|PQ|2有最大值，|PQ|的最大值为.
B组　能力突破
1．过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F且倾斜角为60°的直线l与抛物线在第一、四象限分别交于A、B两点，则的值等于21cnjy.com
(　　)
A．5　　　　　　　　 B．4
C．3   D．2
解析：记抛物线y2＝2px的准线为l，作AA1⊥l，BB1⊥l，BC⊥AA1，垂足分别是A1、B1，C，则有cos 60°＝＝＝＝，由此得＝3，选C.www.21-cn-jy.com
答案：C
2．(2013·课标全国Ⅱ)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为【来源：21·世纪·教育·网】
(　　)
A．y2＝4x或y2＝8x   B．y2＝2x或y2＝8x
C．y2＝4x或y2＝16x   D．y2＝2x或y2＝16x
解析：以MF为直径的圆过点(0,2)，∴点M在第一象限．由|MF|＝xM＋＝5得M.从而以MF为直径的圆的圆心N的坐标为，2·1·c·n·j·y
∵点N的横坐标恰好等于圆的半径，∴圆与y轴切于点(0,2)，
从而2＝ ，即p2－10p＋16＝0，解得p＝2或p＝8，∴ 抛物线方程为y2＝4x或y2＝16x.故选C.21·世纪*教育网
答案：C
3．已知F1、F2分别是椭圆＋＝1的左、右焦点，A是椭圆上一动点，圆C与F1A的延长线、F1F2的延长线以及线段AF2相切，若M(t,0)为一个切点，则t＝________.2-1-c-n-j-y
解析：如图，P、Q分别是圆C与F1A的延长线、线段AF2相切的切点，则|MF2|＝|F2Q|＝2a－(|F1A|＋|AQ|)＝2a－|F1P|＝2a－|F1M|，即|F1M|＋|MF2|＝2a，所以t＝a＝2.　　21*cnjy*com
答案：2

4．(2014·长春一模)已知椭圆C1、抛物线C2的焦点均在x轴上，C1的中心和C2的顶点均为原点O，从每条曲线上各取两个点，将其坐标记录于下表中：
x
3
－2
4


y
－2
0
－4


(1)求C1、C2的标准方程；
(2)是否存在直线l满足条件：①过C2的焦点F；②与C1交于不同的两点M、N，且满足⊥？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．
解：(1)设抛物线C2：y2＝2px(p≠0)，
则有＝2p(x≠0)，
据此验证四个点知(3，－2)，(4，－4)在抛物线上，易得C2：y2＝4x.
设C1：＋＝1(a＞b＞0)，把(－2,0)，代入得
解得
所以C1的标准方程为＋y2＝1.
(2)容易验证当直线l的斜率不存在时，不满足题意．
当直线l的斜率存在时，设其方程为y＝k(x－1)，与C1的交点为M(x1，y1)、N(x2，y2)．【来源：21cnj*y.co*m】
由消去y并整理得(1＋4k2)x2－8k2x＋4(k2－1)＝0，
Δ＝(－8k2)2－4(1＋4k2)·4(k2－1)＝48k2＋16＞0，
于是x1＋x2＝，x1x2＝.①
y1y2＝k2(x1－1)(x2－1)＝k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]，
即y1y2＝k2
＝－.②
由⊥，即·＝0，得x1x2＋y1y2＝0.(*)
将①、②代入(*)式，得－＝＝0，解得k＝±2，
所以存在直线l满足条件，且l的方程为2x－y－2＝0或2x＋y－2＝0.