2014年高考全国课标1（文科数学word解析版）
第Ⅰ卷
选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。21cnjy.com
（1）已知集合
，
，则
（   ）
 
        B.
     C.
          D.

【答案】：B
【解析】： 在数轴上表示出对应的集合，可得
(-1,1),选B

若
，则

        B.
        C.
        D.

【答案】：C
【解析】：由tan????0可得:k???????
????
(k?Z)，故2k???2???2 k?????(k?Z)，
正确的结论只有sin 2????0. 选C

设
，则

A.
        B.
        C.
        D. 2
【答案】：B
【解析】：
，
，选B

（4）已知双曲线
的离心率为2，则

A. 2        B.
        C.
        D. 1
【答案】：D
【解析】：由双曲线的离心率可得
，解得
，选D.

设函数
的定义域为
，且
是奇函数，
是偶函数，则下列结论中正确的是

是偶函数        B.
是奇函数     
 C.
  是奇函数          D.
是奇函数
【答案】：C
【解析】：设
，则
，∵
是奇函数，
是偶函数，∴
，
为奇函数，选C.

设
分别为
的三边
的中点，则


    B.
      C.
         D.

【答案】：A
【解析】：

=
,   选A.

在函数①
，②
，③
,④
中，最小正周期为
的所有函数为
A.①②③    B. ①③④      C. ②④         D. ①③
【答案】：A
【解析】：由
是偶函数可知
，最小正周期为
， 即①正确；y ?| cos x |的最小正周期也是??，即②也正确；
最小正周期为
,即③正确；
的最小正周期为
,即④不正确.
即正确答案为①②③，选A

8.如图，网格纸的各小格都是正方形，粗实线画出的事一个几何体的三视图，则这个几何体是（    ）
A.三棱锥    B.三棱柱   C.四棱锥   D.四棱柱


【答案】：B
【解析】：根据所给三视图易知，对应的几何体是一个横放着的三棱柱. 选B

9.执行下图的程序框图，若输入的
分别为1,2,3，则输出的
=



.
 
.
   
.
  
.

【答案】：D
【解析】：输入
；
时：
；

时：
；
时：
；

时：输出
.  选D.

已知抛物线C：
的焦点为
,
是C上一点，
，则
（    ）
A.  1    B.  2     C.  4   D.  8
【答案】：A
【解析】：根据抛物线的定义可知
，解之得
. 选A.

11.设
，
满足约束条件
且
的最小值为7，则

 （A）-5                                 （B）3               
 （C）-5或3                             （D）5或-3
【答案】：B
【解析】：画出不等式组对应的平面区域， 如图所示.
在平面区域内，平移直线
，可知在点 A
处，z 取得最值，故
解之得a ???5或a ??3.但a ???5时，z取得最大值，故舍去，答案为a ??3.   选B.21·cn·jy·com

已知函数
，若
存在唯一的零点
，且
，则
的取值  范围是

       （B）
       （C）
       （D）

【答案】：C
【解析1】：由已知
，
，令
，得
或
，
当
时，
；
且
，
有小于零的零点，不符合题意。
当
时，

要使
有唯一的零点
且
＞0，只需
，即
，
．选C
【解析2】：由已知
，
=
有唯一的正零点，等价于

有唯一的正零根，令
，则问题又等价于
有唯一的正零根，即
与
有唯一的交点且交点在在y轴右侧，记


，由
，
，
，

，要使
有唯一的正零根，只需
，选C

第
II  卷
填空题：本大题共4小题，每小题5分
将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为________.
【答案】：

【解析】设数学书为A，B，语文书为C，则不同的排法共有（A，B，C），（A， C，B），（B，C，A），（B，A，C），（C，A，B），（C，B，A）共6 种排列方法，其中2 本数学书相邻的情况有4 种情况，故所求概率为
.

甲、乙、丙三位同学被问到是否去过
、
、
三个城市时，
      甲说：我去过的城市比乙多，但没去过
城市；
      乙说：我没去过
城市；
      丙说：我们三人去过同一城市；
      由此可判断乙去过的城市为________.
【答案】：A
【解析】∵丙说：三人同去过同一个城市，甲说没去过B城市，乙说：我没去过C城市
∴三人同去过同一个城市应为Ａ，∴乙至少去过Ａ，若乙再去城市B，甲去过的城市至多两个，不可能比乙多，∴可判断乙去过的城市为Ａ.21教育网

（15）设函数
则使得
成立的
的取值范围是________.
【答案】：

【解析】当x ?1时，由
可得x ?1??ln 2，即x ??ln 2?1，故x ?1；
当x ?1时，由f (x) ?
??2可得x ??8，故1??x ??8，综上可得x ??8

（16）如图，为测量山高
，选择
和另一座山的山顶
为测量观测点.从
点测得 
点的仰角
，
点的仰角
以及
；从
点测得
.已知山高
，则山高
________
.21·世纪*教育网


【答案】：150
【解析】在直角三角形 ABC 中，由条件可得
，在△MAC 中，由正弦 定理可得
，故
，在直角△MAN 中，
.www-2-1-cnjy-com
解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
（本小题满分12分）
已知
是递增的等差数列，
，
是方程
的根。
（I）求
的通项公式；
（II）求数列
的前
项和.
【解析】：（I）方程
的两根为2,3,由题意得
，
，设数列
的公差为 d,，则
，故d=
，从而

，2·1·c·n·j·y
所以
的通项公式为：
                          …………6 分
(Ⅱ)设求数列
的前
项和为Sn,由(Ⅰ)知
，
则：


      两式相减得


所以
                           ………12分
（本小题满分12分）
     从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量表得如下频数分布表：www.21-cn-jy.com
质量指标值分组
[75，85)
[85，95)
[95，105)
[105，115)
[115，125)

频数
6
26
38
22
8


（I）在答题卡上作出这些数据的频率分布直方图：

（II）估计这种产品质量指标值的平均数及方差（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；
（III）根据以上抽样调查数据，能否认为该企业生产的这种产品符合“质量指标值不低于95的产品至少要占全部产品的80%”的规定？2-1-c-n-j-y
【解析】：（I）

…………4分
（II）质量指标值的样本平均数为

.
质量指标值的样本方差为

…10 分  ???? ??
(Ⅲ)质量指标值不低于95 的产品所占比例的估计值为 0.38+0.22+0.08=0.68. 由于该估计值小于0.8,故不能认为该企业生产的这种产品“质量指标值不低于95 的产品至少要占全部产品80%”的规定.                                   …………….12 分

19(本题满分12分)
如图，三棱柱
中，侧面
为菱形，
的中点为
，且
平面
.
（I）证明：

（II）若
,

求三棱柱
的高.
【解析】：（I）连结
，则O为
与
的交点，因为侧面
为菱形，所以

?，又
平面
，故
?
平面
，由于
平面
，【来源：21·世纪·教育·网】
故

                             ………6分
（II）作OD⊥BC,垂足为D,连结AD,作OH⊥AD,垂足为H,
由于BC⊥AO,BC⊥OD,故BC⊥平面AOD,所以OH⊥BC.
又OH⊥AD,所以OH⊥平面ABC.
因为
,所以△
为等边三角形,又BC=1,可得OD=
，由于
，所以
，由 OH·AD=OD·OA,且
，得OH=

又O为B1C的中点,所以点B1 到平面ABC 的距离为
,故三棱柱ABC-A1B1C1 的高为

……………………….12 分

（本小题满分12分）
已知点
，圆
:
，过点
的动直线
与圆
交于
两点，线段
的中点为
，
为坐标原点.
（I）求
的轨迹方程；
（II）当
时，求
的方程及
的面积
【解析】：（I）圆C的方程可化为
,所以圆心为 C(0,4),半径为 4.
设M(x,y),则
，
，,由题设知
,故

，即

由于点P 在圆C 的内部,所以M 的轨迹方程是
…………  6 分
(Ⅱ)由(Ⅰ)可知M 的轨迹是以点N(1,3)为圆心, 2 为半径的圆.
由于|OP|=|OM|,故O在线段PM的垂直平分线上,又P 在圆N 上,从而ON⊥PM.
因为ON 的斜率为3,所以
的斜率为
,直线
的方程为：

又
，
到
的距离为
，
，
所以
的面积为：
.                        ……………12分                  

21（12分）
设函数
，曲线
处的切线斜率为0
（I）求b;
（II）若存在
使得
，求a的取值范围。
【解析】：（I）
，由题设知
,解得b ?1. ……………4 分
(Ⅱ) f (x)的定义域为(0,??),由(Ⅰ)知,
，


(i)若
，则
，故当x?(1,??)时, f '(x) ??0 , f (x)在(1,??)上单调递增.
所以,存在
?1, 使得
的充要条件为
，即

所以?
?1 ??a ??
?1;
(ii)若
，则
，故当x?(1,
)时, f '(x) <?0 , x?(
)时,
,f (x)在(1,
)上单调递减，f (x)在
单调递增.
所以,存在
?1, 使得
的充要条件为
，而

，所以不和题意.
(ⅲ) 若
，则
。
综上，a的取值范围为：

请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分，解答时请写清题号.
（本小题满分10分）选修4-1，几何证明选讲
     如图，四边形
是
的内接四边形，
的延长线与
的延长线交于点
，且
.
（I）证明：
；
（II）设
不是
的直径，
的中点为
，且
，证明：
为等边三角形.
【解析】：.(Ⅰ) 由题设知得A、B、C、D四点共圆，所以
D=
CBE，由已知得，
CBE=
E ,版权所有
所以
D=
E?           ……………5分
（Ⅱ）设BCN中点为，连接MN,则由MB=MC?,知MN⊥BC?  所以O在MN上，又AD不是O的直径，M为AD中点，故OM⊥AD， 即MN⊥AD，所以AD//BC,故
A=
CBE， 又
CBE=
E，故
A=
E???由(Ⅰ)（1）知
D=
E， 所以△ADE为等边三角形．       ……………10分

（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程
已知曲线
，直线
（
为参数）
写出曲线
的参数方程，直线
的普通方程；
过曲线
上任意一点
作与
夹角为30°的直线，交
于点
，求
的最大值与最小值.
【解析】：.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为：
   （
为参数），
直线l的普通方程为：
                           ………5分
（Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos
,3sin
)到l的距离为

，
则
??，其中
为锐角．且
.
当
时，
取得最大值，最大值为
；
当
时，
取得最小值，最小值为
.     …………10分
（本小题满分10分）选修4-5；不等式选讲
若
且

（I）求
的最小值；
（II）是否存在
，使得
？并说明理由.
【解析】：(Ⅰ) 由
，得
，且当
时等号成立，
故
，且当
时等号成立，
∴
的最小值为
.                              ………5分
（Ⅱ）由
，得
，又由(Ⅰ)知
，二者矛盾，
所以不存在
，使得
成立.                ……………10分