基础回扣练——集合与常用逻辑用语
(建议用时：60分钟)
一、选择题
1．(2014·深圳二次调研)已知集合A＝{0,1}，则满足条件A∪B＝{2,0,1,3}的集合B共有  (　　)．
 A．1个   B．2个 
 C．3个   D．4个
 解析　由题知B集合必须含有元素2,3，可以是{2,3}，{2,1,3}，{2,0,3}，{2,0,1,3}，共4个，故选D.21·世纪*教育网
 答案　D
2．(2014·济南4月模拟)已知集合A＝{x||x－1|＜2}，B＝{x|log2x＜2}，则A∩B＝  (　　)．
 A．(－1,3)   B．(0,4) 
 C．(0,3)   D．(－1,4)
 解析　将两集合分别化简得A＝{x|－1＜x＜3}，B＝{x|0＜x＜4}，故结合数轴得A∩B＝{x|－1＜x＜3}∩{x|0＜x＜4}＝{x|0＜x＜3}．　　21*cnjy*com
 答案　C
3．(2014·滁州模拟)定义集合运算：A*B＝{z|z＝xy，x∈A，y∈B}，设A＝{1,2}，B＝{0,2}，则集合A*B的所有元素之和是 (　　)．
 A．0   B．2 
 C．3   D．6
 解析　∵z＝xy，x∈A，y∈B，且A＝{1,2}, B＝{0,2}，∴z的取值有：1×0＝0；1×2＝2；2×0＝0；2×2＝4.故A*B＝{0,2,4}．∴集合A*B的所有元素之和为0＋2＋4＝6.21cnjy.com
 答案　D
4．(2013·陕西五校质检)已知两个非空集合A＝{x|x(x－3)＜4}，B＝{x|≤a}，若A∩B＝B，则实数a的取值范围是 (　　)．
 A．(－1,1)   B．(－2,2)
 C．[0,2)   D．(－∞，2)
 解析　解不等式x(x－3)＜4，得－1＜x＜4，所以A＝{x|－1＜x＜4}；又B是非空集合，所以a≥0，B＝{x|0≤x≤a2}．而A∩B＝B?B?A，借助数轴可知a2＜4，解得0≤a＜2，故选C.2-1-c-n-j-y
 答案　C
5．(2014·厦门质检)若集合P＝{1,2,3,4}，Q＝{x|0＜x＜5，x∈R}，则下列论断正确的是  (　　)．
 A．x∈P是x∈Q的充分不必要条件
 B．x∈P是x∈Q的必要不充分条件
 C．x∈P是x∈Q 的充分必要条件
 D．x∈P是x∈Q的既不充分也不必要条件
 解析　P为Q的真子集，故P中元素一定在Q中，反之不成立．故选A.
 答案　A
6．(2013·湖南卷)“1＜x＜2”是“x＜2”成立的 (　　)．
 A．充分不必要条件   B．必要不充分条件
 C．充分必要条件   D．既不充分也不必要条件
 解析　当1＜x＜2时，必有x＜2；而x＜2时，如x＝0，推不出1＜x＜2，所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件．【来源：21cnj*y.co*m】
 答案　A
7．(2014·长沙模考(二))下列命题错误的是 (　　)．
 A．命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”
 B．对命题p：任意x∈R，均有x2＋x＋1＜0，则綈p为：存在x∈R，使得x2＋x＋1≥0
 C．“三个数a，b，c成等比数列”是“b＝”的充分不必要条件
 D．“x＞2”是“x2－3x＋2＞0”的充分不必要条件
 解析　对于A，命题“若x2－3x＋2＝0，则x＝1”的逆否命题为“若x≠1，则x2－3x＋2≠0”，因此选项A正确．对于B，对命题p：任意x∈R，均有x2＋x＋1＜0，则綈p为：存在x∈R，使得x2＋x＋1≥0，因此选项B正确．对于C，若a，b，c成等比数列，则b2＝ac，当b＜0时，b＝－；若b＝，有可能a＝0，b＝0，c＝0，则a，b，c不成等比数列，因此“a，b，c成等比数列”是“b＝”的既不充分也不必要条件．对于D，注意到由x＞2得x2－3x＋2＝(x－1)·(x－2)＞0；反过来，由x2－3x＋2＞0不能得知x＞2，如取x＝0时，x2－3x＋2＞0，但此时0＜2，因此选项D正确．故选C.
 答案　C
8．(2013·深圳调研)下列命题为真命题的是 (　　)．
 A．若p∨q为真命题，则p∧q为真命题
 B．“x＝5”是“x2－4x－5＝0”的充分不必要条件
 C．命题“若x＜－1，则x2－2x－3＞0”的否命题为“若x＜－1，则x2－2x－3≤0”
 D．已知命题p：?x∈R，使得x2＋x－1＜0，则綈p：?x∈R，使得x2＋x－1＞0
 解析　对于A，“p真q假”时，p∨q为真命题，但p∧q为假命题，故A错；对于C，否命题应为“若x≥－1，则x2－2x－3≤0”，故C错；对于D，綈p应为“?x∈R，使得x2＋x－1≥0”，所以D错；故选B.
 答案　B
9．(2013·太原检测)已知p：≤0，q：4x＋2x－m≤0，若p是q的充分条件，则实数m的取值范围是  (　　)．
 A．(2＋，＋∞)   B．(－∞，2＋]
 C．[2，＋∞)   D．[6，＋∞)
 解析　≤0?0＜x≤1?1＜2x≤2，由题意知，22＋2－m≤0，即m≥6，故选D.
 答案　D
10．已知数列{an}是等比数列，命题p：“若a1＜a2＜a3，则数列{an}是递增数列”，则在命题p及其逆命题、否命题和逆否命题中，真命题的个数为 (　　)．
 A．1   B．2 
 C．3   D．4
 解析　若已知a1＜a2＜a3，则设数列{an}的公比为q，有a1＜a1q＜a1q2.当a1＞0时，解得q＞1，此时数列{an}是递增数列；当a1＜0时，解得0＜q＜1，此时数列{an}也是递增数列．反之，若数列{an}是递增数列，显然有a1＜a2＜a3，所以命题p及其逆命题都是真命题．由于命题p的逆否命题和命题p是等价命题，命题p的否命题和命题p的逆命题互为逆否命题，也是等价命题，所以命题p的否命题和逆否命题都是真命题，故选D.
 答案　D
二、填空题
11．(2014·金华第二次统练)已知M，N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若?I(M∩N)＝?IN，则M∪N＝________.21·cn·jy·com


 解析　由Venn图可知N?M，∴M∪N＝M.
 答案　M
12．已知集合A＝{0,2}，B＝{1，a2}，若A∪B＝{0,1,2,4}，则实数a的值为________．2·1·c·n·j·y
 解析　由题意知a2＝4，所以a＝±2.
 答案　±2
13．已知f(x)＝ln(1＋x)的定义域为集合M，g(x)＝2x＋1的值域为集合N，则M∩N＝________.【来源：21·世纪·教育·网】
 解析　由对数与指数函数的知识，得M＝(－1，＋∞)，N＝(1，＋∞)，故M∩N＝(1，＋∞)．
 答案　(1，＋∞)
14．已知命题p：“?x0∈(0，＋∞)，x0＞”，命题p的否定为命题q，则q是“________”；q的真假为________(填“真”或“假”)．
 解析　全称命题的否定为特称命题，所以命题q为：?x∈(0，＋∞)，x≤.
 答案　?x∈(0，＋∞)，x≤　假
15．(2013·海口模拟)若命题“?x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0”是真命题，则实数a的取值范围是________．www-2-1-cnjy-com
 解析　∵?x∈R，使得x2＋(a－1)x＋1＜0是真命题，
 ∴Δ＝(a－1)2－4＞0，即(a－1)2＞4，
 ∴a－1＞2或a－1＜－2，
 ∴a＞3或a＜－1.
 答案　(－∞，－1)∪(3，＋∞)
16．(2013·昆明质检)下面有三个命题：
 ①关于x的方程mx2＋mx＋1＝0(m∈R)的解集恰有一个元素的充要条件是m＝0或m＝4；
 ②?m0∈R，使函数f(x)＝m0x2＋x是奇函数；
 ③命题“x，y是实数，若x＋y≠2，则x≠1或y≠1”是真命题．
 其中真命题的序号是________．
 解析　①中，当m＝0时，原方程无解，故①是假命题；②中，当m＝0时，f(x)＝x显然是奇函数，故②是真命题；③中，命题的逆否命题“x，y是实数，若x＝1且y＝1，则x＋y＝2”为真命题，故原命题为真命题，因此③为真命题．21教育网
 答案　②③
三、解答题
17．已知集合A＝{x|x2－2x－3≤0，x∈R}，B＝{x|x2－2mx＋m2－4≤0，x∈R}．
 (1)若A∩B＝[1,3]，求实数m的值；
 (2)若A??RB，求实数m的取值范围．
 解　A＝{x|－1≤x≤3}，
 B＝{x|m－2≤x≤m＋2}．
 (1)∵A∩B＝[1,3]，∴得m＝3.
 (2)?RB＝{x|x＜m－2，或x＞m＋2}．
 ∵A??RB，∴m－2＞3或m＋2＜－1.
 ∴m＞5或m＜－3.
 故实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(5，＋∞)．
18．已知命题p：关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，命题q：函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，如果p∨q为真命题，p∧q为假命题，求实数a的取值范围．版权所有
 解　由关于x的不等式ax＞1(a＞0，a≠1)的解集是{x|x＜0}，知0＜a＜1；
 由函数y＝lg(ax2－x＋a)的定义域为R，知不等式ax2－x＋a＞0的解集为R，则解得a＞.www.21-cn-jy.com
 因为p∨q为真命题，p∧q为假命题，所以p和q一真一假，当p假，q真时，由?a＞1；
 当p真，q假时，由?0＜a≤.
 综上，知实数a的取值范围是∪(1，＋∞).