基础回扣练——空间几何体及点、线、面之间的位置关系
(建议用时：90分钟)
一、选择题
1．(2014·中山模拟)一个几何体的正视图和侧视图如图所示，则这个几何体的俯视图不可能是  (　　)．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解析　∵该几何体的正视图和侧视图都是正方形，∴其可能为正方体或底面直径与高相等的圆柱或底面是等腰直角三角形且其腰长等于高的直三棱柱，但不可能是一个底面矩形长与宽不相等的长方体．∴选D.21·cn·jy·com
答案　D
2.(2013·豫西五校联考)如图是一个无盖的正方体盒子展开后的平面图，A，B，C是展开图上的三点，则在正方体盒子中，∠ABC的值为 (　　)．


A．30°  　　　　B．45° 
C．60°  　　　　D．90°
解析　还原正方体，如图所示，连接AB，BC，AC，可得△ABC是正三角形，则∠ABC＝60°.


答案　C
3．(2013·浙江五校联盟联考)关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是
(　　)．
A．若l∥α，α∩β＝m，则l∥m
B．若l∥α，m∥α，则l∥m
C．若l⊥α，l∥β，则α⊥β
D．若l∥α，m⊥l，则m⊥α
答案　C
4．若直线m?平面α，则条件甲：直线l∥α是条件乙：l∥m的(　　)．
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析　若l∥α，m?α，不一定有l∥m；若l∥m，m?α，则l?α或l∥α，因而甲
乙，乙
甲．
答案　D
5．(2014·揭阳二模)一个棱长为2的正方体沿其棱的中点截去部分后所得几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为 (　　)．


A．7   B. 
C.   D.
解析　依题意可知该几何体的直观图如图所示，其体积为23－2×××1×1×1＝.


答案　D
6．(2013·温州二模)下列命题正确的是  (　　)．
A．若平面α不平行于平面β，则β内不存在直线平行于平面α
B．若平面α不垂直于平面β，则β内不存在直线垂直于平面α
C．若直线l不平行于平面α，则α内不存在直线平行于直线l
D．若直线l不垂直于平面α，则α内不存在直线垂直于直线l
答案　B
7．(2014·潍坊模拟)设m，n是两条不同直线，α，β是两个不同的平面，下列命题正确的是  (　　)．
A．m∥α，n∥β，且α∥β，则m∥n
B．m⊥α，n⊥β，且α⊥β，则m⊥n
C．m⊥α，n?β，m⊥n，则α⊥β
D．m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
解析　A中的直线m，n也有可能异面，所以不正确．B正确．C中α，β不一定垂直，错误．D中当m，n相交时，结论成立，当m，n不相交时，结论不成立．所以选B.www.21-cn-jy.com
答案　B
8．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm2)为 (　　)．


A．48   B．64 
C．80   D．120
解析　据三视图知，该几何体是一个正四棱锥(底面边长为8 cm)，直观图如图，PE为侧面△PAB的边AB上的高，且PE＝5 cm.∴此几何体的侧面积是S＝4S△PAB＝4××8×5＝80 (cm2)．【来源：21·世纪·教育·网】


答案　C
9．(2013·广州二模)一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为4的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是  (　　)．


A．12π   B．24π 
C．32π   D．48π
解析　该几何体的直观图如图所示，它是有一条侧棱垂直于底面的四棱锥，其中底面ABCD是边长为4的正方形，高为CC1＝4，该几何体的所有顶点在同一球面上，则球的直径为AC1＝4＝2R，所以球的半径为R＝2，所以球的表面积是4πR2＝4π×(2)2＝48π.www-2-1-cnjy-com


答案　D
10．(2013·山东卷)已知三棱柱ABC－A1B1C1的侧棱与底面垂直，体积为，底面是边长为的正三角形．若P为底面A1B1C1的中心，则PA与平面ABC所成角的大小为  (　　)．
A.   B. 
C.   D.
解析　如图，O为底面ABC的中心，连接PO，由题意知PO为直三棱柱的高，∠PAO为PA与平面ABC所成的角，S△ABC＝×××sin 60°＝.
∴
＝S△ABC×OP＝×OP＝，∴OP＝.又OA＝××＝1，∴tan∠OAP＝＝，又0<∠OAP<，∴∠OAP＝.21教育网


答案　B
二、填空题
11．(2014·苏锡常镇四市二调)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，给出下列命题：2·1·c·n·j·y
①若α∥β，m?β，n?α，则m∥n；②若α∥β，m⊥β，n∥α，则m⊥n；③若α⊥β，m⊥α，n∥β，则m∥n；④若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n.
上面命题中，所有真命题的序号为________．
解析　①只要画出两个平行平面，可以发现分别在两个平面内的直线是可以异面的，即m与n可以异面，不一定平行；③满足条件的两条直线m和n也可以相交或异面，不一定平行．2-1-c-n-j-y
答案　 ②④
12．(2013·深圳二调)某机器零件的俯视图是直径为24 mm的圆(包括圆心)，正视图和侧视图完全相同，如图所示，则该机器零件的体积是________mm3(结果保留π)．　　21*cnjy*com


解析　依题意，该机器零件可视为是从一个圆柱中挖去一个圆锥，因此该机器零件的体积为π×122×24－×π×122×12＝2 880π(mm3)．
答案　2 880π
13.正六棱锥P－ABCDEF中，G为PB的中点，设三棱锥D－GAC的体积为V1，三棱锥P－GAC体积为V2，则V1∶V2＝________.21·世纪*教育网


解析　设棱锥的高为h，
V1＝VD－GAC＝VG－ADC＝S△ADC·h，
V2＝VP－GAC＝VP－ABC＝VG－ABC＝S△ABC·.
又S△ADC∶S△ABC＝2∶1，故V1∶V2＝2∶1.
答案　2∶1
14．(2014·皖南八校第三次联考)点E，F，G分别是正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，B1C1的中点，如图所示，则下列命题中的真命题是________(写出所有真命题的编号)．【来源：21cnj*y.co*m】


①以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面中最多只有三个面是直角三角形；
②过点F，D1，G的截面是正方形；
③点P在直线FG上运动时，总有AP⊥DE；
④点Q在直线BC1上运动时，三棱锥A－D1QC的体积是定值；
⑤点M是正方体的平面A1B1C1D1内的到点D和C1距离相等的点，则点M的轨迹是一条线段．
解析　对于①，三棱锥A－BCC1的四个面都是直角三角形，故①为假命题；对于②，截面为矩形FGD1D，易知其边长不等，故②为假命题；③易证DE⊥平面AFG，又AP?平面AFG，故DE⊥AP，故③为真命题；④由于BC1∥平面ACD1，故三棱锥Q－ACD1的高为定值，即点Q到平面ACD1的距离为定值，而底面积S△ACD1也为定值，故三棱锥体积VA －D1QC＝VQ －ACD1为定值，故④为真命题；⑤到D，C1距离相等的点的轨迹为平面A1BCD1(中垂面)，又点M在平面A1B1C1D1中，故点M的轨迹为线段A1D1，故⑤为真命题．【出处：21教育名师】
答案　③④⑤
三、解答题
15．(2014·济南一模)在如图的多面体中，AE⊥底面BEFC，AD∥EF∥BC，BE＝AD＝EF＝BC，G是BC的中点．【版权所有：21教育】


(1)求证：AB∥平面DEG；
(2)求证：EG⊥平面BDF.
证明　(1)∵AD∥EF，EF∥BC，∴AD∥BC.
又∵BC＝2AD，G是BC的中点，∴AD綉BG，
∴四边形ADGB是平行四边形，∴AB∥DG.
∵AB?平面DEG，DG?平面DEG，∴AB∥平面DEG.


(2)连接GF，四边形ADFE是矩形，
∵DF∥AE，AE⊥底面BEFC，
∴DF⊥平面BCFE，EG?平面BCFE，∴DF⊥EG.
∵EF綉BG，EF＝BE，
∴四边形BGFE为菱形，
∴BF⊥EG，
又BF∩DF＝F，BF?平面BFD，DF?平面BFD，
∴EG⊥平面BDF.
16.(2014·成都一模)如图，在五面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，△ABF是等边三角形，棱EF∥BC，且EF＝BC.


(1)求证：EO∥面ABF；
(2)若EF＝EO，证明：平面EFO⊥平面ABE.
证明　(1)取AB的中点M，连接FM，OM.


∵O为矩形ABCD的对角线的交点，
∴OM∥BC，且OM＝BC，
又EF∥BC，且EF＝BC，∴OM＝EF，且OM∥EF，
∴四边形EFMO为平行四边形，∴EO∥FM，
又∵FM?平面ABF，EO?平面ABF，∴EO∥平面ABF.
(2)由(1)知四边形EFMO为平行四边形，
又∵EF＝EO，∴四边形EFMO为菱形，连接EM，则有FO⊥EM，
又∵△ABF是等边三角形，且M为AB中点，
∴FM⊥AB，易知MO⊥AB，且MO∩MF＝M，
∴AB⊥面EFMO，
∴AB⊥FO.∵AB∩EM＝M，∴FO⊥平面ABE.
又∵FO?平面EFO，∴平面EFO⊥平面ABE.
17．如图，在四棱锥P－ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AB＝AD，∠BAD＝60°，E，F分别是AP，AD的中点．求证：版权所有


(1)直线EF∥平面PCD；
(2)平面BEF⊥平面PAD.
证明　(1)如图，在△PAD中，因为E，F分别为AP，AD的中点，


所以EF∥PD.又因为EF?平面PCD，PD?平面PCD，所以直线EF∥平面PCD.
(2)连接BD.因为AB＝AD，∠BAD＝60°，所以△ABD为正三角形．
因为F是AD的中点，所以BF⊥AD.
因为平面PAD⊥平面ABCD，BF?平面ABCD，
平面PAD∩平面ABCD＝AD，所以BF⊥平面PAD.
又因为BF?平面BEF，
所以平面BEF⊥平面PAD.
18．如图1，在边长为1的等边三角形ABC中，D，E分别是AB，AC上的点，AD＝AE，F是BC的中点，AF与DE交于点G.将△ABF沿AF折起，得到如图2所示的三棱锥A－BCF，其中BC＝.21cnjy.com


(1)证明：DE∥平面BCF；
(2)证明：CF⊥平面ABF；
(3)当AD＝时，求三棱锥F－DEG的体积VF－DEG.
(1)证明　在等边△ABC中，AD＝AE，
在折叠后的图形中，仍有AD＝AE，AB＝AC，
因此＝，从而DE∥BC.
因为DE?平面BCF，BC?平面BCF，
所以DE∥平面BCF.
(2)证明　在折叠前的图形中，因为△ABC为等边三角形，BF＝CF，所以AF⊥BC，则在折叠后的图形中，AF⊥BF，AF⊥CF，又BF＝CF＝，BC＝.，
所以BC2＝BF2＋CF2，所以 BF⊥CF.
又BF∩AF＝F，BF?平面ABF，AF?平面ABF，
所以CF⊥平面ABF.
(3)解　由(1)知，平面DEG∥平面BCF，
由(2)知AF⊥BF，AF⊥CF，
又BF∩CF＝F，所以AF⊥平面BCF，
所以AF⊥平面DEG，即GF⊥平面DEG.
在折叠前的图形中，
AB＝1，BF＝CF＝，AF＝.
由AD＝知＝，
又DG∥BF，所以＝＝＝，
所以DG＝EG＝×＝，AG＝×＝，
所以FG＝AF－AG＝.故V三棱锥F－DEG＝V三棱锥E－DFG
＝×DG·FG·GE＝·2·＝.