阶段示范性金考卷六
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．在某大学数学专业的160名学生中开展一项社会调查，先将学生随机编号为01,02,03，…，160，采用系统抽样的方法抽取样本，已知抽取的学生中最小的两个编号为07号、23号，那么抽取的最大编号应该是(　　)【版权所有：21教育】
A．150   B．151
C．142   D．143
解析：由最小的两个编号为07,23可知，抽样间距为16，因此抽取人数的比例为，即抽取10名同学，其编号构成首项为07，公差为16的等差数列，故最大编号为7＋9×16＝151.
答案：B
2．执行如图所示的程序框图，输出结果S等于(　　)


A．1006  B．1007
C．1008  D．1009
解析：根据程序框图，S＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋
(－2013＋2014)＝1007，输出的S为1007.
答案：B
3．已知点P是圆x2＋y2＋2x－3＝0上任意一点，则点P在第一象限内的概率为(　　)
A.    B. 
C.    D. 


解析：将方程配方得(x＋1)2＋y2＝4，如图，易知∠ACB＝60°，圆上的点在第一象限内的概率P＝＝.
答案：C
4．对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：
x
2
4
5
6
8

y
20
40
60
70
80

根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为 ＝10.5x＋ ，据此模型来预测当x＝20时，y的估计值为(　　)
A．210   B．210.5
C．211.5   D．212.5
解析：由数据可知＝＝5，＝＝54，将(，)代入回归直线方程 ＝10.5x＋ 可得 ＝54－52.5＝1.5，即回归直线方程为 ＝10.5x＋1.5，令x＝20，得 ＝10.5×20＋1.5＝211.5，故选C.www.21-cn-jy.com
答案：C
5．某商场在春节期间举行抽奖促销活动，规则是：从装有编号为0,1,2,3四个完全相同的金蛇形小玩具抽奖箱中同时抽出两个小玩具．两个小玩具的号码之和等于5中一等奖，等于4中二等奖，等于3中三等奖．则中奖的概率是(　　)
A.    B. 
C.    D. 
解析：抽出两个小玩具，两个小玩具的号码可能为(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,2)，(1,3)，(2,3)，共6种情况，号码之和等于5的有(2,3)，号码之和等于4的有(1,3)，号码之和等于3的有(0,3)，(1,2)，则中奖的情况有4种，故中奖的概率为.
答案：B
6．有一个容量为200的样本，其频率分布直方图如图所示，已知样本数据落在区间[10,12)内的频数比样本数据落在区间[8,10)内的频数少40，则m的值等于(　　)
A．0.18   B．0.09
C．0.08   D．0.1


解析：依题意，样本数据落在区间[10,12)内的频率比样本数据落在区间[8,10)内的频率小＝0.2，因此(n－m)·2＝0.2，所以n－m＝0.1，而(m＋n＋0.02＋0.05＋0.15)·2＝1，于是n＋m＝0.28，解得m＝0.09.
答案：B
7. 在一盒子中有编号为1,2的红色球2个，编号为1,2的白色球2个，现从盒子中摸出2个球，每个球被摸到的概率相同，则摸出的2个球中既含有2种不同颜色又含有2个不同编号的概率为(　　)
A.    B. 
C.    D. 
解析：从4个球中摸出2个球的情况有(红1，红2)，(红1，白1)，(红1，白2)，(红2，白1)，(红2，白2)，(白1，白2)，共6种，其中2球颜色不同且编号不同的情况有(红1，白2)，(红2，白1)，共2种，故所求概率P＝＝.
答案：A
8．甲、乙两名学生的6次数学测验成绩(百分制)的茎叶图如图所示．


①甲同学成绩的中位数大于乙同学成绩的中位数；②甲同学的平均分比乙同学的平均分高；③甲同学的平均分比乙同学的平均分低；④甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差．21·cn·jy·com
上面说法正确的是(　　)
A．③④  B．①②④
C．②④  D．①③④
解析：由茎叶图知甲同学的成绩分别为72,76,80,82,86,90；乙同学的成绩分别为69,78,87,88,92,96.故甲同学成绩的中位数小于乙同学成绩的中位数，①错；计算得甲同学的平均分为81，乙同学的平均分为85，故甲同学的平均分比乙同学的平均分低，②错，③对；计算得甲同学成绩的方差小于乙同学成绩的方差，故④对．所以说法正确的是③④.故选A项．2-1-c-n-j-y
答案：A
9．用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数，这个数为恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数的概率为(　　)
A.    B. 
C.    D. 
解析：用1,2,3,4这四个数字组成无重复数字的四位数有1234,1243,1324,1342,1423,1432,2134,2143,2314,2341,2413,2431,3142,3124,3214,3241,3412,3421,4123,4132,4213,4231,4312,4321，共24个，其中恰有一个偶数夹在两个奇数之间的四位数有1234,1432,2143,2341,3214,3412,4123,4321，共8个，所以所求概率P＝＝，选A.21教育网
答案：A
10．被戏称成“最牛违建”的北京“楼顶别墅”于2013年8月15日正式拆除．围绕此事件的种种纷争，某媒体通过随机询问100名性别不同的居民对此的看法，得到下表【来源：21cnj*y.co*m】

认为就应依法拆除
认为太可惜了

男
45
10

女
30
15


附：
P(K2≥k)
0.10
0.05
0.025

k
2.706
3.841
5.024

K2＝
参照附表，得到的正确结论是：(　　)
A．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别有关”
B．在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为“认为拆除太可惜了与性别无关”
C．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”
D．有90%以上的把握认为“认为拆除太可惜了与性别无关”
解析：因为K2＝＝3.030>2.706，所以P(K2>2.706)＝0.10，故有90%的把握认为“认为拆除太可惜了与性别有关”．
答案：C
11．某算法的程序框图如图所示，其中输入的变量x在1,2,3，…，24这24个整数中等可能随机产生，则按程序框图正确编程运行时输出y的值为1或2的概率为(　　)


A.    B. 
C.    D. 
解析：变量x是在1,2,3，…，24这24个整数中随机产生的一个数，共有24种可能．当x从1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,21,23这12个数中产生时，输出y的值为1，故输出y的值为1的概率P1＝，当x从2,4,8,10,14,16,20,22这8个数中产生时，输出y的值为2，故输出y的值为2的概率P2＝，所以输出y的值为1或2的概率为＋＝.
答案：D
12．若利用计算机在区间(0,1)上产生两个不等的随机数a和b，则方程x＝2－有不等实数根的概率为(　　)
A.    B. 
C.    D. 


解析：方程x＝2－，即x2－2x＋2b＝0，原方程有不等实数根，则需满足Δ＝(2)2－4×2b>0，即a>b.
在如图所示的平面直角坐标系内，(a，b)的所有可能结果是边长为1的正方形(不包括边界)，而事件A“方程x＝2－有不等实数根”的可能结果为图中阴影部分(不包括边界)．
由几何概型公式可得P(A)＝＝.
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．利用随机数表法对一个容量为500，编号为000,001,002，…，499的产品进行抽样检验，抽取一个容量为10的样本，若选定从第12行第5列的数开始向右读数(下图摘取了随机数表的第11行至第15行)，根据下图，读出的第3个数是________．
18 18 07 92 45　44 17 16 58 09　79 83 86 19 62　06 76 50 03 10　55 23 64 05 05　　21*cnjy*com
26 62 38 97 75　84 16 07 44 99　83 11 46 32 24　20 14 85 88 45　10 93 72 88 71
23 42 40 64 74　82 97 77 77 81　07 45 32 14 08　32 92 94 07 72　93 85 79 10 75
52 36 28 19 95　50 92 26 11 97　00 56 76 31 38　80 22 02 53 53　86 60 42 04 53
37 85 94 35 12　83 39 50 08 30　42 34 07 96 88　54 42 06 87 98　35 85 29 48 39
解析：最先读到的1个编号是389，向右读下一个数是775,775大于499，故舍去；下一个数是841，舍去；下一个数是607，舍去；下一个数是449；下一个数是983，舍去；下一个数是114.读出的第3个数是114.
答案：114
14．[2014·安徽联考]已知x是1,2,3，x,5,6,7这七个数据的中位数，且1,3，x，－y这四个数据的平均数为1，则＋y的最小值为________．
解析：由已知得3≤x≤5，＝1，∴y＝x，∴＋y＝＋x，又函数y＝＋x在[3,5]上单调递增，2·1·c·n·j·y
∴当x＝3时取最小值.
答案：
15．如图，运行程序框图后输出S的值是________．


解析：因为a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，且ai＝ai＋6，所以输出的S＝a1＋a2＋…＋a2014＝a1＋a2＋a3＋a4＝cos＋(－1)1＋cos＋(－1)2＋cos＋(－1)3＋cos＋(－1)4＝－.【来源：21·世纪·教育·网】
答案：－
16．如图，⊙C内切于扇形AOB，∠AOB＝.若在扇形内任取一点，则该点在⊙C内的概率为________．版权所有


解析：设⊙C的半径为1，试验发生包含的事件对应的是扇形AOB，满足条件的事件是圆，⊙C的面积等于π.连接OC并延长交扇形于N.过C作CM⊥OB，则∠COM＝，OC＝2，ON＝3，∴扇形AOB的面积为××32＝，∴⊙C的面积与扇形AOB的面积比是，∴所求概率P＝.21cnjy.com
答案：
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)在一次抽奖活动中，有a、b、c、d、e、f共6人获得抽奖的机会．抽奖规则如下：主办方先从6人中随机抽取两人均获一等奖，再从余下的4人中随机抽取1人获二等奖，最后还从这4人中随机抽取1人获三等奖．
(1)求a能获一等奖的概率；
(2)若a、b已获一等奖，求c能获奖的概率．
解：(1)设“a能获一等奖”为事件A，事件A等价于事件“从6人中随机抽取两人，能抽到a”．从6人中随机抽取两人的基本事件有(a、b)、(a、c)、(a、d)、(a、e)、(a、f)、(b、c)、(b、d)、(b、e)、(b、f)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d、e)、(d、f)、(e、f)15个，
包含a的有5个，所以，P(A)＝＝，
答：a能获一等奖的概率为.
(2)设“若a、b已获一等奖，c能获奖”为事件B，
a、b已获一等奖，余下的四个人中，获奖的基本事件有(c、c)、(c、d)、(c、e)、(c、f)、(d、c)、(d、d)、(d、e)、(d、f)、(e、c)、(e、d)、(e、e)、(e、f)、(f、c)、(f、d)、(f、e)、(f、f)16个，
其中含有c的有7种，所以，P(B)＝，
答：若a、b已获一等奖，c能获奖的概率为.
18．(本小题满分12分)一般来说，一个人脚掌越长，他的身高就越高．现对10名成年人的脚掌长x与身高y进行测量．得到的数据(单位均为cm)作为一个样本如表所示．www-2-1-cnjy-com
脚掌长(x)
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29

身高(y)
141
146
154
160
169
176
181
188
197
203

(1)在上表数据中，以“脚掌长”为横坐标，“身高”为纵坐标，作出散点图后，发现散点在一条直线附近，试求“身高”与“脚掌长”之间的线性回归方程 ＝x＋ ；21*cnjy*com
(2)若某人的脚掌长为26.5 cm，试估计此人的身高；
(3)在样本中，从身高180 cm以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，求所抽取的2人中至少有1人身高在190 cm以上的概率．
(参考公式及数据：线性回归方程 ＝x＋ 中，＝， ＝－ ，其中，为样本平均值，(xi－x)(yi－y)＝577.5，(xi－)2＝82.5)21教育名师原创作品
解：(1)记样本中10人的“脚掌长”为xi(i＝1,2，…，10)，
“身高”为yi(i＝1,2，…，10)，
则 ＝＝＝7.
∵＝＝24.5，
＝＝171.5，
∴ ＝－ ＝0，
∴ ＝7x.
(2)由(1)知 ＝7x，当x＝26.5时，
 ＝7×26.5＝185.5(cm)，
故估计此人的身高为185.5 cm.
(3)将身高为181 cm,188 cm,197 cm,203 cm的4人分别记为A，B，C，D.
记“从身高180 cm以上的4人中随机抽取2人作进一步的分析，所抽取的2人中至少有1人身高在190 cm以上” 为事件M，
则基本事件有(AB)，(AC)，(AD)，(BC)，(BD)，(CD)，共6个，
M包含的基本事件有(AC)，(AD)，(BC)，(BD)，(CD)，共5个，∴P(M)＝.
19．(本小题满分12分)某市今年10月举办艺术节，现有8名艺术节志愿者，其中志愿者A1，A2，A3通晓英语，B1，B2，B3通晓俄语，C1，C2通晓韩语．从中选出通晓英语、俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组．
(1)求A1被选中的概率；
(2)求B1和C1不全被选中的概率．
解：(1)从8人中选出通晓英语、俄语和韩语志愿者各1名，其一切可能的结果组成的基本事件空间Ω＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)}，共18个基本事件．由于每一个基本事件被抽取的机会均等，因此这些基本事件的发生是等可能的．
用M表示事件“A1恰被选中”，则M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}，共有6个基本事件．
因此P(M)＝＝.
(2)用N表示事件“B1和C1不全被选中”，则其对立事件表示事件“B1和C1全被选中”，由于N＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件包含3个基本事件，
所以P()＝＝，
由对立事件的概率公式得P(N)＝1－P()＝1－＝.
20．(本小题满分12分)某市为增强市民的环境保护意识，面向全市征召义务宣传志愿者．现从符合条件的志愿者中随机抽取100名按年龄分组：第1组[20,25)，第2组[25,30)，第3组[30,35)，第4组[35,40)，第5组[40,45]，得到的频率分布直方图如图所示．


(1)若从第3,4,5组中用分层抽样的方法抽取6名志愿者参加广场的宣传活动，应从第3,4,5组各抽取多少名志愿者？
(2)在(1)的条件下，该市决定在这6名志愿者中随机抽取2名志愿者介绍宣传经验，求第4组至少有1名志愿者被抽中的概率．
解：(1)第3组的人数为0.06×5×100＝30，第4组的人数为0.04×5×100＝20，第5组的人数为0.02×5×100＝10.
因为第3,4,5组共有60名志愿者，所以利用分层抽样的方法在60名志愿者中抽取6名志愿者，每组抽取的人数分别为，第3组：×6＝3；第4组：×6＝2；第5组：×6＝1.
所以应从第3,4,5组各抽取3人，2人，1人．
(2)记第3组的3名志愿者为A1，A2，A3，第4组的2名志愿者则从6名志愿者中抽取2名志愿者有：
(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，C1)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，C1)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，C1)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共15种情况．
其中第4组的2名志愿者B1，B2至少有1名志愿者被抽中的情况有：
(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，(B1，C1)，(B2，C1)，共9种．21·世纪*教育网
所以第4组至少有1名志愿者被抽中的概率为＝.
21．(本小题满分12分)某工厂生产A，B两种元件，其质量按测试指标划分为：大于或等于7.5为正品，小于7.5为次品．现从一批产品中随机抽取这两种元件各5件进行检测，检测结果记录如下：
A
7
7
7.5
9
9.5

B
6
x
8.5
8.5
y

由于表格被污损，数据x，y看不清，统计员只记得x<y，且A，B两种元件的检测数据的平均数相等，方差也相等．
(1)求表格中x与y的值；
(2)若从被检测的5件B种元件中任取2件，求2件都为正品的概率．
解：(1)由题知A＝(7＋7＋7.5＋9＋9.5)＝8，B＝
(6＋x＋8.5＋8.5＋y)，
由A＝B，得x＋y＝17.①
因为s＝(1＋1＋0.25＋1＋2.25)＝1.1，s＝[4＋(x－8)2＋0.25＋0.25＋(y－8)2]，
由s＝s，得(x－8)2＋(y－8)2＝1.②
由①②解得或.
因为x<y，所以x＝8，y＝9.
(2)记被检测的5件B种元件分别为B1，B2，B3，B4，B5，其中B2，B3，B4，B5为正品，
从中任取2件，共有10个基本事件，列举如下：
(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，B4)，(B1，B5)，(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，B5)，(B3，B4)，(B3，B5)，(B4，B5)，【出处：21教育名师】
记“2件都为正品”为事件C，则事件C包含以下6个基本事件：(B2，B3)，(B2，B4)，(B2，B5)，(B3，B4)，(B3，B5)，(B4，B5)．
所以P(C)＝＝，即2件都为正品的概率为.
22．(本小题满分12分)某园艺师用两种不同的方法培育了一批珍贵树苗，在树苗3个月大的时候，随机抽取甲、乙两种方式培育的树苗各20株，测量其高度，得到的茎叶图如图(单位：cm)：


(1)依茎叶图判断用哪种方法培育的树苗的平均高度大？
(2)现从用甲种方式培育的高度不低于80 cm的树苗中随机抽取2件，求高度为86 cm的树苗至少有一株被抽中的概率；
(3)如果规定高度不低于85 cm的为生长优秀，请填写下面的2×2列联表，并判断“能否在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为树苗高度与培育方式有关？”

甲方式
乙方式
合计

优秀




不优秀




合计




下面临界值表仅供参考：
P(K2≥k0)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001

k0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828

参考公式：K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d.
解：(1)用甲种方式培育的树苗的高度集中于50～90 cm之间，而用乙种方式培育的树苗的高度集中于60～100 cm之间，所以用乙种方式培养的树苗的平均高度大．
(2)记高度为86 cm的树苗为A，B，其他不低于80 cm的树苗为C，D，E，F.从用甲种方式培育的高度不低于80 cm的树苗中随机抽取2株的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)，共15个．
高度为86 cm的树苗至少有一株被抽中所组成的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，共9个．
故所求概率P＝＝.
(3)2×2列联表如下：

甲方式
乙方式
合计

优秀
3
10
13

不优秀
17
10
27

合计
20
20
40

K2＝≈5.584>5.024，因此在犯错误的概率不超过0.025的前提下，可以认为树苗高度与培育方式有关．