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阶段示范性金考卷三

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阶段示范性金考卷三
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1.已知实数a,b满足ab≠0且a<b,则下列命题成立的是(  )
A.|a|<|b|   B.a2b<ab2
C.<   D.<
解析:在a<b两边同时除以a2b2即可得到<.故选C.
答案:C
2.若数列{an}为等差数列,且a7+a8+a9=12,则a9-a10=(  )
A.1   B.2
C.3   D.4
解析:a7+a9=2a8,代入已知得3a8=12,所以a8=4,a9-a10=(2a9-a10)=(a9+a9-a10)=a8=2.www-2-1-cnjy-com
答案:B
3.在等比数列{an}中,a5·a11=3,a3+a13=4,则=(  )
A.3   B.9
C.3或   D.9或
解析:由已知可得a3·a13=a5·a11=3,a3+a13=4,所以a3=1,a13=3或a3=3,a13=1,所以q10==3或q10=.因为=q20,所以结果为9或.21·cn·jy·com
答案:D
4.若关于x的不等式ax2-|x|+2a≤0的解集为?,则实数a的取值范围为(  )
A.a<   B.a<
C.a>   D.a>
解析:由题意,函数y=ax2-|x|+2a的图象在x轴上方,因为函数是偶函数,所以只需分析x>0时的情况即可.要使函数y=ax2-x+2a(x>0)满足题意,需,解得a>.
答案:D
5.在如图所示的数阵中,第20行的第2个数为(  )

A.363   B.343
C.323   D.313
解析:每行的第2个数构成一个数列{an},由题意知a2=3,a3=6,a4=11,a5=18,所以a3-a2=3,a4-a3=5,a5-a4=7,…,an-an-1=2(n-1)-1=2n-3,等式两边同时相加得an-a2==n2-2n,所以an=n2-2n+3(n≥2),所以a20=202-2×20+3=363,选A.版权所有
答案:A
6.已知a>0,b>0,则a+b+2的最小值是(  )
A.2   B.2
C.4   D.5
解析:因为a+b+≥2+2=2(+)≥4,当且仅当a=b,且=,即a=b时,取“=”.
答案:C
7.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a2=4,S10=110,则的最小值为(  )
A.7   B.
C.8   D.
解析:设等差数列{an}的公差为d,则a1+d=4,10a1+d=110,∴a1=d=2,∴an=2n,Sn=n2+n,  21*cnjy*com
∴=++≥+8=(当且仅当n=8时取“=”),选D.
答案:D
8.已知实数x、y满足,则2x+y的取值范围是(  )
A.[1,2]   B.[1,+∞)
C.(0,]   D.[1,]
解析:设2x+y=b,则只需求直线2x+y=b在y轴上的截距范围.画出可行域为弓形,当直线与圆相切时,截距最大,且为,当直线过点(0,1)时截距最小,且为1,所以2x+y的取值范围是[1,].
答案:D
9.设数列{an}是首项为1,公比为q(q≠-1)的等比数列,若是等差数列,则(+)+(+)+…+(+)的值等于(  )2-1-c-n-j-y
A.2012   B.2013
C.4024   D.4026
解析:由题意知an=1·qn-1,设bn==,因为b1+b3=2b2,所以+=,得q2-2q+1=0,所以q=1,所以an=1(n∈N*).所以(+)+(+)+…+(+)=2×2012=4024.21教育名师原创作品
答案:C
10.已知数列{an}为等差数列,其公差为-2,且a7是a3与a9的等比中项,Sn为{an}的前n项和,n∈N*,则当Sn最大时,n的值为(  )
A.10   B.11
C.10或11   D.11或12
解析:因为a7是a3,a9的等比中项,所以a=a3a9.又公差为-2,所以(a1-12)2=(a1-4)(a1-16),解得a1=20,所以数列{an}的通项公式an=20-2(n-1)=22-2n,所以Sn==-n2+21n,因为n∈N*,所以Sn取最大值时n为10或11,故选C.21*cnjy*com
答案:C
11.设数列{an},{bn}都是正项等比数列,Sn,Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和,且=,则logb5a5=(  )
A.   B.
C.   D.
解析:由题知S9=lga1+lga2+…+lga8+lga9=lg(a1a2…a8a9)=lg(a5)9=9lga5,同理T9=9lgb5,所以logb5a5====.
答案:C
12.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,满足a2≤2,a3≤4,a1+a4≥4,当a4取得最大值时,数列{an}的公差为(  )
A.1   B.4
C.2   D.3
解析:令a1=x,d=y,因为a2≤2,a1+a4≥4,a3≤4,所以,则a4=z=x+3y,画出约束条件的可行域为由三顶点(0,2),(2,0),(-4,4)构成的三角形,目标函数化为标准的斜截式y=-x+z,由运动变化知目标函数过点(-4,4)时有最大值,所以当a4取得最大值8时,数列{an}的公差为4,因此选B项.
答案:B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上)
13.已知等差数列{an}的公差d=1,前n项和为Sn.若S5>a1a9,则a1的取值范围为________.21·世纪*教育网
解析:因为数列{an}的公差d=1,且S5>a1a9,所以5a1+10>a+8a1,即a+3a1-10<0,解得-5<a1<2,即a1的取值范围为(-5,2).
答案:(-5,2)
14.设{an}为公比q>1的等比数列,若a2012和a2013是方程4x2-8x+3=0的两个根,则a2013+2a2014+a2015=________.
解析:由根与系数的关系知a2012+a2013=2,a2012·a2013=,并根据q>1,解得a2013=,a2012=,所以q==3,所以a2013+2a2014+a2015=(a2013+a2014)+(a2014+a2015)=q(a2012+a2013)+q2(a2012+a2013)=3×2+32×2=24.
答案:24
15.已知数列{an}满足a1=2,an+1=-1(n∈N*),则a1a2a3…a2014的值为________.【来源:21cnj*y.co*m】
解析:a1=2,a2=-1=-3,a3=-1=-,a4=-1=,a5=-1=2,推理得{an}是周期为4的数列,a1a2a3a4=2×(-3)×(-)×()=1,a1a2a3…a2014=a2013a2014=a1a2=2×(-3)=-6.
答案:-6
16.已知等比数列{an}满足an+1+an=9·2n-1,n∈N*,设数列{an}的前n项和为Sn.若不等式Sn>kan-2对一切n∈N*恒成立,则实数k的取值范围是________.21cnjy.com
解析:设等比数列{an} 的公比为q,因为an+1+an=9·2n-1,n∈N*,所以a2+a1=9,a3+a2=18,所以q===2,所以2a1+a1=9,所以a1=3.所以an=3·2n-1,n∈N*,故Sn===3(2n-1),即3(2n-1)>k·3·2n-1-2,所以k<2-.令f(n)=2-,则f(n)随n的增大而增大,所以f(n)min=f(1)=2-=,所以k<,故实数k的取值范围为(-∞,).
答案:(-∞,)
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)[2014·咸阳模拟]已知等比数列{an}中,a3-a4是a2与-a3的等差中项,且a1=,q≠1.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)已知数列{bn}满足:a1b1+a2b2+…+anbn=2n-1,n∈N*,求数列{bn}的前n项和Sn.
解:(1)由已知得2(a3-a4)=a2-a3,故q=(q≠1).
因为a1=,所以an=.
(2)当n=1时,a1b1=1,b1=2,因为a1b1+a2b2+…+anbn=2n-1,
所以当n≥2时,a1b1+a2b2+…+an-1bn-1=2(n-1)-1,
两式相减,得anbn=2,得bn=2n+1.
所以bn=.
所以Sn=2n+2-6(n∈N*).
18.(本小题满分12分)已知数列{log2(an-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)证明:++…+<1.
解:(1)设等差数列{log2(an-1)}的公差为d.
由a1=3,a3=9得log22+2d=log28,即d=1.
∴log2(an-1)=1+(n-1)×1=n,即an=2n+1.
(2)∵==,
∴++…+
=+++…+
==1-<1.
19.(本小题满分12分)记数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2+(1-)n(c为常数,n∈N*),且a1,a2,a5成公比不等于1的等比数列.www.21-cn-jy.com
(1)求c的值;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)由Sn=n2+(1-)n得,当n=1时,a1=S1=1;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=1+(n-1)c,
故an=1+(n-1)c.
而a1,a2,a5成公比不等于1的等比数列,即(1+c)2=1+4c,且c≠0,∴c=2.
(2)由(1)知,an=2n-1,
∴bn===(-),
∴Tn=b1+b2+…+bn=[(1-)+(-)+…+(-)]=(1-)=.
20.(本小题满分12分)已知数列{an}满足:a1=1,a2=2,且an+2=(2+cosnπ)(an-1)+3,n∈N*.2·1·c·n·j·y
(1)求通项an;
(2)设{an}的前n项和为Sn,问:是否存在正整数m,n(m≤3,n≤3),使得S2n=mS2n-1?若存在,请求出所有符合条件的正整数对(m,n),若不存在,请说明理由.【出处:21教育名师】
解:(1)当n是奇数时,cosnπ=-1;当n是偶数时,cosnπ=1.
所以当n是奇数时,an+2=an+2;当n是偶数时,an+2=3an.
又a1=1,a2=2,所以a1,a3,a5,…,a2n-1,…是首项为1,公差为2的等差数列;
a2,a4,a6,…,a2n,…是首项为2,公比为3的等比数列.
所以an=.
(2)由(1)得S2n=(a1+a3+…+a2n-1)+(a2+a4+…+a2n)=(1+3+…+2n-1)+(2+6+…+2×3n-1)=3n+n2-1.【版权所有:21教育】
S2n-1=S2n-a2n=3n+n2-1-2×3n-1=3n-1+n2-1.
若使S2n=mS2n-1的正整数对(m,n)存在,即满足3n+n2-1=m(3n-1+n2-1)的正整数对(m,n)存在.当n=1时,31+12-1=m(31-1+12-1),m=3;当n=2时,32+22-1=m(32-1+22-1),m=2;当n=3时,33+32-1=m(33-1+32-1),这时不存在正整数m.故满足题意的正整数对(m,n)只有(3,1),(2,2).
21.(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差大于0,且a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,数列{bn}的前n项和为Sn,且Sn=(n∈N*).
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记cn=anbn,求证:cn+1≤cn;
(3)求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)因为a3,a5是方程x2-14x+45=0的两根,且数列{an}的公差d>0,
所以a3=5,a5=9,公差d==2.
所以an=a5+(n-5)d=2n-1(n∈N*).
当n=1时,b1=S1=,解得b1=.
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(bn-1-bn),所以=(n≥2).
所以数列{bn}是首项b1=,公比q=的等比数列,
所以bn=b1qn-1=(n∈N*).
(2)由(1),知cn=anbn=,cn+1=,
所以cn+1-cn=-=≤0.
所以cn+1≤cn.
(3)由(2),知cn=anbn=,
则Tn=+++…+,①
Tn=+++…++,②
①-②,得Tn=+++…+-=+2(++…+)-=-,化简得Tn=1-.【来源:21·世纪·教育·网】
故数列{cn}的前n项和Tn=1-(n∈N*).
22.(本小题满分12分)某食品厂定期购买面粉,已知该厂每天需用面粉6吨,每吨面粉的价格为1800元,面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元,购买面粉每次需支付运费900元.
(1)求该厂多少天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少?
(2)某提供面粉的公司规定:当一次购买面粉不少于210吨时,其价格可享受9折优惠,问该厂是否考虑利用此优惠条件?请说明理由.
解:(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉,其购买量为6x吨,
由题意可知,面粉的保管等其他费用为3[6x+6(x-1)+6(x-2)+…+6×1]=9x(x+1),21教育网
设平均每天所支付的总费用为y1元,
则y1=+1800×6
=+9x+10809
≥2+10809=10989,
当且仅当9x=,即x=10时取等号.
即该厂应每隔10天购买一次面粉,才能使平均每天所支付的总费用最少.
(2)因为不少于210吨,每天用面粉6吨,所以至少每隔35天购买一次面粉.
设该厂利用此优惠条件后,每隔x(x≥35)天购买一次面粉,平均每天支付的总费用为y2元,
则y2=[9x(x+1)+900]+6×1800×0.90
=+9x+9729(x≥35).
令f(x)=x+(x≥35),f′(x)=1->0,
即f(x)=x+,当x≥35时为增函数,
∴当x=35时,f(x)有最小值,此时y2<10989.
∴该厂应接受此优惠条件.

 

 

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