阶段示范性金考卷三
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知实数a，b满足ab≠0且a<b，则下列命题成立的是(　　)
A．|a|<|b|   B．a2b<ab2
C.<   D.<
解析：在a<b两边同时除以a2b2即可得到<.故选C.
答案：C
2．若数列{an}为等差数列，且a7＋a8＋a9＝12，则a9－a10＝(　　)
A．1   B．2
C．3   D．4
解析：a7＋a9＝2a8，代入已知得3a8＝12，所以a8＝4，a9－a10＝(2a9－a10)＝(a9＋a9－a10)＝a8＝2.www-2-1-cnjy-com
答案：B
3．在等比数列{an}中，a5·a11＝3，a3＋a13＝4，则＝(　　)
A．3   B．9
C．3或   D．9或
解析：由已知可得a3·a13＝a5·a11＝3，a3＋a13＝4，所以a3＝1，a13＝3或a3＝3，a13＝1，所以q10＝＝3或q10＝.因为＝q20，所以结果为9或.21·cn·jy·com
答案：D
4．若关于x的不等式ax2－|x|＋2a≤0的解集为?，则实数a的取值范围为(　　)
A．a<   B．a<
C．a>   D．a>
解析：由题意，函数y＝ax2－|x|＋2a的图象在x轴上方，因为函数是偶函数，所以只需分析x>0时的情况即可．要使函数y＝ax2－x＋2a(x>0)满足题意，需，解得a>.
答案：D
5．在如图所示的数阵中，第20行的第2个数为(　　)


A．363   B．343
C．323   D．313
解析：每行的第2个数构成一个数列{an}，由题意知a2＝3，a3＝6，a4＝11，a5＝18，所以a3－a2＝3，a4－a3＝5，a5－a4＝7，…，an－an－1＝2(n－1)－1＝2n－3，等式两边同时相加得an－a2＝＝n2－2n，所以an＝n2－2n＋3(n≥2)，所以a20＝202－2×20＋3＝363，选A.版权所有
答案：A
6．已知a>0，b>0，则a＋b＋2的最小值是(　　)
A．2   B．2
C．4   D．5
解析：因为a＋b＋≥2＋2＝2(＋)≥4，当且仅当a＝b，且＝，即a＝b时，取“＝”．
答案：C
7．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a2＝4，S10＝110，则的最小值为(　　)
A．7   B.
C．8   D.
解析：设等差数列{an}的公差为d，则a1＋d＝4,10a1＋d＝110，∴a1＝d＝2，∴an＝2n，Sn＝n2＋n，　　21*cnjy*com
∴＝＋＋≥＋8＝(当且仅当n＝8时取“＝”)，选D.
答案：D
8．已知实数x、y满足，则2x＋y的取值范围是(　　)
A．[1,2]   B．[1，＋∞)
C．(0，]   D．[1，]
解析：设2x＋y＝b，则只需求直线2x＋y＝b在y轴上的截距范围．画出可行域为弓形，当直线与圆相切时，截距最大，且为，当直线过点(0,1)时截距最小，且为1，所以2x＋y的取值范围是[1，]．
答案：D
9．设数列{an}是首项为1，公比为q(q≠－1)的等比数列，若是等差数列，则(＋)＋(＋)＋…＋(＋)的值等于(　　)2-1-c-n-j-y
A．2012   B．2013
C．4024   D．4026
解析：由题意知an＝1·qn－1，设bn＝＝，因为b1＋b3＝2b2，所以＋＝，得q2－2q＋1＝0，所以q＝1，所以an＝1(n∈N*)．所以(＋)＋(＋)＋…＋(＋)＝2×2012＝4024.21教育名师原创作品
答案：C
10．已知数列{an}为等差数列，其公差为－2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则当Sn最大时，n的值为(　　)
A．10   B．11
C．10或11   D．11或12
解析：因为a7是a3，a9的等比中项，所以a＝a3a9.又公差为－2，所以(a1－12)2＝(a1－4)(a1－16)，解得a1＝20，所以数列{an}的通项公式an＝20－2(n－1)＝22－2n，所以Sn＝＝－n2＋21n，因为n∈N*，所以Sn取最大值时n为10或11，故选C.21*cnjy*com
答案：C
11．设数列{an}，{bn}都是正项等比数列，Sn，Tn分别为数列{lgan}与{lgbn}的前n项和，且＝，则logb5a5＝(　　)
A.   B.
C.   D.
解析：由题知S9＝lga1＋lga2＋…＋lga8＋lga9＝lg(a1a2…a8a9)＝lg(a5)9＝9lga5，同理T9＝9lgb5，所以logb5a5＝＝＝＝.
答案：C
12．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，满足a2≤2，a3≤4，a1＋a4≥4，当a4取得最大值时，数列{an}的公差为(　　)
A．1   B．4
C．2   D．3
解析：令a1＝x，d＝y，因为a2≤2，a1＋a4≥4，a3≤4，所以，则a4＝z＝x＋3y，画出约束条件的可行域为由三顶点(0,2)，(2,0)，(－4,4)构成的三角形，目标函数化为标准的斜截式y＝－x＋z，由运动变化知目标函数过点(－4,4)时有最大值，所以当a4取得最大值8时，数列{an}的公差为4，因此选B项．
答案：B
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．已知等差数列{an}的公差d＝1，前n项和为Sn.若S5>a1a9，则a1的取值范围为________．21·世纪*教育网
解析：因为数列{an}的公差d＝1，且S5>a1a9，所以5a1＋10>a＋8a1，即a＋3a1－10<0，解得－5<a1<2，即a1的取值范围为(－5,2)．
答案：(－5,2)
14．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2012和a2013是方程4x2－8x＋3＝0的两个根，则a2013＋2a2014＋a2015＝________.
解析：由根与系数的关系知a2012＋a2013＝2，a2012·a2013＝，并根据q>1，解得a2013＝，a2012＝，所以q＝＝3，所以a2013＋2a2014＋a2015＝(a2013＋a2014)＋(a2014＋a2015)＝q(a2012＋a2013)＋q2(a2012＋a2013)＝3×2＋32×2＝24.
答案：24
15．已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝－1(n∈N*)，则a1a2a3…a2014的值为________．【来源：21cnj*y.co*m】
解析：a1＝2，a2＝－1＝－3，a3＝－1＝－，a4＝－1＝，a5＝－1＝2，推理得{an}是周期为4的数列，a1a2a3a4＝2×(－3)×(－)×()＝1，a1a2a3…a2014＝a2013a2014＝a1a2＝2×(－3)＝－6.
答案：－6
16．已知等比数列{an}满足an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，设数列{an}的前n项和为Sn.若不等式Sn>kan－2对一切n∈N*恒成立，则实数k的取值范围是________．21cnjy.com
解析：设等比数列{an} 的公比为q，因为an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，所以a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，所以q＝＝＝2，所以2a1＋a1＝9，所以a1＝3.所以an＝3·2n－1，n∈N*，故Sn＝＝＝3(2n－1)，即3(2n－1)>k·3·2n－1－2，所以k<2－.令f(n)＝2－，则f(n)随n的增大而增大，所以f(n)min＝f(1)＝2－＝，所以k<，故实数k的取值范围为(－∞，)．
答案：(－∞，)
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)[2014·咸阳模拟]已知等比数列{an}中，a3－a4是a2与－a3的等差中项，且a1＝，q≠1.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)已知数列{bn}满足：a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－1，n∈N*，求数列{bn}的前n项和Sn.
解：(1)由已知得2(a3－a4)＝a2－a3，故q＝(q≠1)．
因为a1＝，所以an＝.
(2)当n＝1时，a1b1＝1，b1＝2，因为a1b1＋a2b2＋…＋anbn＝2n－1，
所以当n≥2时，a1b1＋a2b2＋…＋an－1bn－1＝2(n－1)－1，
两式相减，得anbn＝2，得bn＝2n＋1.
所以bn＝.
所以Sn＝2n＋2－6(n∈N*)．
18．(本小题满分12分)已知数列{log2(an－1)}(n∈N*)为等差数列，且a1＝3，a3＝9.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)证明：＋＋…＋<1.
解：(1)设等差数列{log2(an－1)}的公差为d.
由a1＝3，a3＝9得log22＋2d＝log28，即d＝1.
∴log2(an－1)＝1＋(n－1)×1＝n，即an＝2n＋1.
(2)∵＝＝，
∴＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＝1－<1.
19．(本小题满分12分)记数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n2＋(1－)n(c为常数，n∈N*)，且a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列．www.21-cn-jy.com
(1)求c的值；
(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.
解：(1)由Sn＝n2＋(1－)n得，当n＝1时，a1＝S1＝1；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝1＋(n－1)c，
故an＝1＋(n－1)c.
而a1，a2，a5成公比不等于1的等比数列，即(1＋c)2＝1＋4c，且c≠0，∴c＝2.
(2)由(1)知，an＝2n－1，
∴bn＝＝＝(－)，
∴Tn＝b1＋b2＋…＋bn＝[(1－)＋(－)＋…＋(－)]＝(1－)＝.
20．(本小题满分12分)已知数列{an}满足：a1＝1，a2＝2，且an＋2＝(2＋cosnπ)(an－1)＋3，n∈N*.2·1·c·n·j·y
(1)求通项an；
(2)设{an}的前n项和为Sn，问：是否存在正整数m，n(m≤3，n≤3)，使得S2n＝mS2n－1？若存在，请求出所有符合条件的正整数对(m，n)，若不存在，请说明理由．【出处：21教育名师】
解：(1)当n是奇数时，cosnπ＝－1；当n是偶数时，cosnπ＝1.
所以当n是奇数时，an＋2＝an＋2；当n是偶数时，an＋2＝3an.
又a1＝1，a2＝2，所以a1，a3，a5，…，a2n－1，…是首项为1，公差为2的等差数列；
a2，a4，a6，…，a2n，…是首项为2，公比为3的等比数列．
所以an＝.
(2)由(1)得S2n＝(a1＋a3＋…＋a2n－1)＋(a2＋a4＋…＋a2n)＝(1＋3＋…＋2n－1)＋(2＋6＋…＋2×3n－1)＝3n＋n2－1.【版权所有：21教育】
S2n－1＝S2n－a2n＝3n＋n2－1－2×3n－1＝3n－1＋n2－1.
若使S2n＝mS2n－1的正整数对(m，n)存在，即满足3n＋n2－1＝m(3n－1＋n2－1)的正整数对(m，n)存在．当n＝1时，31＋12－1＝m(31－1＋12－1)，m＝3；当n＝2时，32＋22－1＝m(32－1＋22－1)，m＝2；当n＝3时，33＋32－1＝m(33－1＋32－1)，这时不存在正整数m.故满足题意的正整数对(m，n)只有(3,1)，(2,2)．
21．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的公差大于0，且a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，数列{bn}的前n项和为Sn，且Sn＝(n∈N*)．
(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(2)记cn＝anbn，求证：cn＋1≤cn；
(3)求数列{cn}的前n项和Tn.
解：(1)因为a3，a5是方程x2－14x＋45＝0的两根，且数列{an}的公差d>0，
所以a3＝5，a5＝9，公差d＝＝2.
所以an＝a5＋(n－5)d＝2n－1(n∈N*)．
当n＝1时，b1＝S1＝，解得b1＝.
当n≥2时，bn＝Sn－Sn－1＝(bn－1－bn)，所以＝(n≥2)．
所以数列{bn}是首项b1＝，公比q＝的等比数列，
所以bn＝b1qn－1＝(n∈N*)．
(2)由(1)，知cn＝anbn＝，cn＋1＝，
所以cn＋1－cn＝－＝≤0.
所以cn＋1≤cn.
(3)由(2)，知cn＝anbn＝，
则Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋＋…＋＋，②
①－②，得Tn＝＋＋＋…＋－＝＋2(＋＋…＋)－＝－，化简得Tn＝1－.【来源：21·世纪·教育·网】
故数列{cn}的前n项和Tn＝1－(n∈N*)．
22．(本小题满分12分)某食品厂定期购买面粉，已知该厂每天需用面粉6吨，每吨面粉的价格为1800元，面粉的保管等其他费用为平均每吨每天3元，购买面粉每次需支付运费900元．
(1)求该厂多少天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少？
(2)某提供面粉的公司规定：当一次购买面粉不少于210吨时，其价格可享受9折优惠，问该厂是否考虑利用此优惠条件？请说明理由．
解：(1)设该厂应每隔x天购买一次面粉，其购买量为6x吨，
由题意可知，面粉的保管等其他费用为3[6x＋6(x－1)＋6(x－2)＋…＋6×1]＝9x(x＋1)，21教育网
设平均每天所支付的总费用为y1元，
则y1＝＋1800×6
＝＋9x＋10809
≥2＋10809＝10989，
当且仅当9x＝，即x＝10时取等号．
即该厂应每隔10天购买一次面粉，才能使平均每天所支付的总费用最少．
(2)因为不少于210吨，每天用面粉6吨，所以至少每隔35天购买一次面粉．
设该厂利用此优惠条件后，每隔x(x≥35)天购买一次面粉，平均每天支付的总费用为y2元，
则y2＝[9x(x＋1)＋900]＋6×1800×0.90
＝＋9x＋9729(x≥35)．
令f(x)＝x＋(x≥35)，f′(x)＝1－>0，
即f(x)＝x＋，当x≥35时为增函数，
∴当x＝35时，f(x)有最小值，此时y2<10989.
∴该厂应接受此优惠条件．