阶段示范性金考卷四
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设直线m、n和平面α、β，下列四个命题中，正确的是(　　)
A．若m∥α，n∥α，则m∥n
B．若m?α，n?α，m∥β，n∥β，则α∥β
C．若α⊥β，m?α，则m⊥β
D．若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
解析：选项A中，两条直线同时平行于同一个平面，则两直线的位置关系有三种；选项B中，只有m、n相交时成立；选项C中，只有m垂直于交线时成立．选D.2·1·c·n·j·y
答案：D


2．如图所示，正四棱锥P－ABCD的底面积为3，体积为，E为侧棱PC的中点，则PA与BE所成的角为(　　)21·世纪*教育网
A.   B.
C.   D.
解析：连接AC、BD交于点O，连接OE，OP，易得OE∥PA，∴所求角为∠BEO.∵PO⊥OB，OB⊥OA，∴OB⊥平面PAC，OB⊥OE.由所给条件易得OB＝，OE＝PA＝，在△OBE中，tan∠OEB＝，∴∠OEB＝，选C.www-2-1-cnjy-com
答案：C


3．如图，三棱锥A－BCD的底面为正三角形，侧面ABC与底面垂直且AB＝AC，若该四棱锥的正(主)视图的面积为2，则侧(左)视图的面积为(　　)　　21*cnjy*com
A.   B.
C.   D.
解析：由题意可知，该四棱锥的正(主)视图为△ABC，设底面边长为2a，BC中点为O，则AO⊥BC，则AO⊥平面BCD，设AO＝h，则△ABC的面积为·2a·h＝ah＝2，侧(左)视图为△AOD，则面积为OD·AO＝·a·h＝ah＝.【出处：21教育名师】
答案：B


4．如图，在正三棱锥A－BCD中，E、F分别是AB、BC的中点，EF⊥DE，且BC＝1，则正三棱锥A－BCD的体积是(　　)
A.   B.
C.   D.
解析：∵EF⊥DE，EF∥AC，∴AC⊥DE，易知AC⊥BD，
∴AC⊥平面ABD.由AB＝AC＝AD＝，可得所求体积为××××＝.
答案：B


5．如图，半径为R的球O中有一内接圆柱，当圆柱的侧面积最大时，球的体积与该圆柱的体积之比是(　　)
A．2π   B.
C.   D.
解析：设圆柱的底面半径为r，故其侧面积S侧＝2πr·2＝4π，当S侧最大时，r2＝R2－r2，r2＝，所以r＝R，此时圆柱的高h＝R，＝＝，选B.
答案：B
6．[2012·长春一模]设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列四个命题：
①若a⊥b，a⊥α，b?α，则b∥α；②若a∥α，α⊥β，则a⊥β；
③若α⊥β，a⊥β，则a∥α或a?α；④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，
则α⊥β.
其中正确命题的个数为(　　)
A. 1  B. 2
C. 3  D. 4


解析：在如图所示的长方体中，A1A⊥A1B1，A1A⊥平面ABCD，
A1B1?平面ABCD，则A1B1∥平面ABCD，①正确；设A1B1为a，平面AC为α，平面A1B为β，显然有a∥α，α⊥β，但得不到a⊥β，②不正确；可设A1A为a，平面AC为β，平面A1D或平面B1C为α，满足③的条件且得a∥α或a?α，③正确；设A1B1为a，平面A1D为α，A1A为b，平面AC为β，满足④的条件且得到α⊥β，④正确．
答案：C
7．一个空间几何体的三视图如图，则该几何体的体积为(　　)


A．2   B．2
C.   D.
解析：该几何体是三棱柱中截去一个棱锥，三棱柱的底面边长为2，高是2，截去的三棱锥底面边长是2，高是1，所以该几何体的体积是V＝×2××2－××2××1＝.版权所有
答案：D


8．如图，四棱锥S－ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是(　　)
A．AC⊥SB
B．AB∥平面SCD
C．SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D．AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
解析：AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，而这两个角显然不相等，故D不正确．www.21-cn-jy.com
答案：D
9．在矩形ABCD中，若AB＝3，BC＝4，PA⊥平面AC，且PA＝1，则点P到对角线BD的距离为(　　)2-1-c-n-j-y
A.    B. 
C.    D. 
解析：过A作AE⊥BD于E.连接PE.因为PA⊥平面AC，BD?平面AC，所以PA⊥BD，所以BD⊥平面PAE，所以BD⊥PE，即PE就是点P到BD的距离，因为AE＝＝＝，PA＝1，所以PE＝.【来源：21cnj*y.co*m】
答案：D
10．设三棱柱的侧棱垂直于底面，所有棱的长都为a，顶点都在一个球面上，则该球的表面积为(　　)
A．πa2   B.πa2
C.πa2   D．5πa2


解析：由题意知，该三棱柱为正三棱柱，且侧棱与底面边长相等，均为a.
如图，设O1、O分别为上、下底面的中心，且球心O2为O1O的中点，则AD＝a，AO＝a，OO2＝，设球O2的半径为R，则R2＝AO＝a2＋a2＝a2.∴该球的表面积S球＝4πR2＝4π×a2＝πa2.【版权所有：21教育】
答案：B

11．已知正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，CC1＝2，E为CC1的中点，则直线AC1与平面BED的距离为(　　)
A. 2   B. 
C.    D. 1
解析：连接AC，与BD交于点O，连接OE，因为O，E分别是AC，CC1的中点，所以OE∥AC1，且OE＝AC1，所以AC1∥平面BED，直线AC1与平面BED的距离等于点C到平面BED的距离．过C作CF⊥OE于F，则CF即为所求距离．因为正四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面边长为2，高为2，所以AC＝2，OC＝，CE＝，OE＝2，利用等面积法得CF＝＝1，选D.21教育名师原创作品
答案：D


12．如图，边长为a的等边△ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE(A′?平面ABC)是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，对于下列叙述错误的是(　　)21*cnjy*com
A．平面A′FG⊥平面ABC
B．BC∥平面A′DE
C．三棱锥A′－DEF的体积最大值为a3
D．直线DF与直线A′E可能共面
解析：A项中，由已知可得四边形ADFE是菱形，则DE⊥GA′，DE⊥GF，所以DE⊥平面A′FG，所以平面A′FG⊥平面ABC，A项正确；又BC∥DE，∴BC∥平面A′DE，B项正确；当平面A′DE⊥平面ABC时，三棱锥A′－DEF的体积达到最大，最大值为××a2×a＝a3，C项正确；在旋转过程中DF与直线A′E始终异面，D项不正确．
答案：D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)
13．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．


解析：由三视图知，该几何体是一个圆柱和三棱锥的组合体．圆柱的底面半径为1，高为1，所以圆柱的体积为π×12×1＝π；三棱锥的底面是等腰直角三角形，两直角边为，三棱锥的高为，所以三棱锥的体积为××××＝，所以该几何体的体积为π＋.
答案：π＋
14．在三棱锥P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝2，底面△ABC是边长为2的正三角形，则此三棱锥外接球的半径为________．
解析：底面△ABC是边长为2的正三角形，PA⊥底面ABC，可得此三棱锥的外接球即为以△ABC为底面、以PA为高的正三棱柱的外接球．∵△ABC是边长为2的正三角形，∴△ABC的外接圆半径r＝，球心到△ABC的外接圆圆心的距离d＝1，故球的半径R＝＝＝.21cnjy.com
答案：


15．如图，在棱长为a的正方体ABCD－A1B1C1D1中，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM＋ME最小，其最小值为________．
解析：取CC1的中点F，连接EF，MF，EF交平面BB1D1D于点N，则EN＝FN，所以F点是E点关于平面BB1D1D的对称点，

则AM＋ME＝AM＋MF，所以当A，M，F三点共线时，AM＋MF最小，即AM＋ME最小，此时AM＋MF＝AF＝.
答案：


16．正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，M，N，P，Q分别在棱A1D1，A1B1，B1C1，BC上移动，则四面体MNPQ的最大体积是________．
解析：由图可知，四面体MNPQ的体积就是三棱锥Q－MNP的体积，而三棱锥的高是a，当底面△MNP的面积最大时体积最大，S△MNP最大＝a2，所以四面体MNPQ的最大体积是×a2×a＝a3.
答案：a3.
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)如图为一简单组合体，其底面ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD＝AD＝2EC.
(1)求证：BE∥平面PDA；
(2)求证：平面PBD⊥平面PBE.



证明：(1)∵EC∥PD，PD?平面PDA，
EC?平面PDA，∴EC∥平面PDA，
同理可得BC∥平面PDA，
又EC∩BC＝C，
故平面BEC∥平面PDA.
又∵BE?平面EBC，因此BE∥平面PDA.
(2)连接AC交BD于点O，取PB的中点F，连接OF.
由于FO∥PD，又∵EC∥PD，
∴FO∥EC，且FO＝EC，
因此OCEF为平行四边形，于是OC∥EF.
又∵OC⊥平面PBD，∴EF⊥平面PBD，
又∵EF?平面PBE，
故平面PBD⊥平面PBE.
18．(本小题满分12分)如图(1)，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，E为侧棱PD上一点，F为AB上一点．该四棱锥的正视图和侧视图如图(2)所示．【来源：21·世纪·教育·网】


(1)求四面体PBFC的体积；
(2)证明：AE∥平面PFC；
(3)证明：平面PFC⊥平面PCD.
解：(1)由侧视图可得F为AB的中点，BF＝1，
所以△BFC的面积S＝ ×1×2＝1.
因为PA⊥平面ABCD，
所以四面体PBFC的体积VP－BFC＝S△BFC×PA＝×1×2＝.


(2)取PC的中点Q，连接EQ，FQ.
由正视图可得E为PD的中点，
所以EQ∥CD，EQ＝CD.
又因为AF∥CD，AF＝CD，
所以AF∥EQ，AF＝EQ.
所以四边形AFQE为平行四边形，所以AE∥FQ.
因为AE?平面PFC，FQ?平面PFC，
所以AE∥平面PFC.
(3)因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.
因为底面ABCD为正方形，所以AD⊥CD.
所以CD⊥平面PAD.
因为AE?平面PAD，所以CD⊥AE.
因为PA＝AD，E为PD的中点，所以AE⊥PD.
所以AE⊥平面PCD.
由(2)知AE∥FQ，所以FQ⊥平面PCD.
因为FQ?平面PFC，所以平面PFC⊥平面PCD.

19．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，∠BCD＝60°，AB＝2AD，PD⊥平面ABCD，点M为PC的中点．21教育网
(1)求证：PA∥平面BMD；
(2)求证：AD⊥PB.
证明：(1)连接AC，AC与BD相交于点O，连接MO，
∵ABCD是平行四边形，
∴O是AC的中点．
∵M为PC的中点，
∴MO∥AP.
∵PA?平面BMD，MO?平面BMD，
∴PA∥平面BMD.


(2)∵PD⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，
∴PD⊥AD.
∵∠BAD＝∠BCD＝60°，AB＝2AD，
∴BD2＝AB2＋AD2－2AB·AD·cos60°
＝AB2＋AD2－2AD2
＝AB2－AD2.
∴AB2＝AD2＋BD2.
∴AD⊥BD.
∵PD∩BD＝D，PD?平面PBD，BD?平面PBD，
∴AD⊥平面PBD.
∵PB?平面PBD，
∴AD⊥PB.


20．(本小题满分12分)如图，已知三棱锥A－BCD中，AB⊥BD，AD⊥CD，E，F分别为AC，BC的中点，且△BEC为正三角形．
(1)求证：CD⊥平面ABD；
(2)若CD＝3，AC＝10，求点C到平面DEF的距离．
解：(1)∵△BEC为正三角形，F为BC的中点，∴EF⊥BC.
∵EF∥AB，∴AB⊥BC.
又∵AB⊥BC，∴AB⊥平面BCD，
∴AB⊥CD，又∵AD⊥CD，AB∩AD＝A，
∴CD⊥平面ABD.
(2)设点C到平面DEF的距离为h，
∵AC＝10，∴BE＝BC＝5，∴AB＝2EF＝5，
在Rt△BDC中，∵F为BC的中点，∴DF＝BC＝，
∴S△EFD＝DF·EF＝，
∴VC－EFD＝S△EFD·h＝h.
在Rt△BCD中，∵CD＝3，BC＝5，∴BD＝4，∴S△DFC＝S△DBC＝3，
∴VE－DFC＝S△DFC·EF＝，
∵VC－EFD＝VE－DFC，∴h＝，
∴点C到平面DEF的距离为.
21．(本小题满分12分)如图(1)，△BCD是等边三角形，AB＝AD，∠BAD＝90°，M，N，G分别是BD，BC，AB的中点，将△BCD沿BD折叠到△BC′D的位置，使得AD⊥C′B，如图(2)．


(1)求证：平面GNM∥平面ADC′；
(2)求证：C′A⊥平面ABD.
解：(1)因为M，N分别是BD，BC′的中点，
所以MN∥DC′.
因为MN?平面ADC′，DC′?平面ADC′，
所以MN∥平面ADC′.
同理，NG∥平面ADC′.
又因为MN∩NG＝N，
所以平面GNM∥平面ADC′.

(2)因为∠BAD＝90°，所以AD⊥AB.
又因为AD⊥C′B，且AB∩C′B＝B，所以AD⊥平面
C′AB.
因为C′A?平面C′AB，所以AD⊥C′A.
△BC′D是等边三角形，AB＝AD，
不妨设AB＝1，则BC′＝C′D＝BD＝，可得C′A＝1.
由勾股定理的逆定理，可得AB⊥C′A.
因为AB∩AD＝A，所以C′A⊥平面ABD.


22．(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA＝PD＝AD，
E、F分别为PC、BD的中点．
(1)求证：EF∥平面PAD；
(2)求证：平面PAB⊥平面PDC；
(3)求三棱锥C－PBD的体积．
解：(1)连接AC，易知AC交BD于点F，∵四边形ABCD为正方形，F为AC的中点，E为PC的中点，∴EF∥PA.21·cn·jy·com
又PA?平面PAD，EF?平面PAD，∴EF∥平面PAD.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
四边形ABCD为正方形，CD⊥AD，CD?平面ABCD，
∴CD⊥平面PAD.
∴CD⊥PA.
又PA＝PD＝AD，∴PAD是等腰直角三角形，
且∠APD＝，即PA⊥PD.
∵CD∩PD＝D，且CD、PD?平面PDC，
∴PA⊥平面PDC.
又PA?平面PAB，
∴平面PAB⊥平面PDC.
(3)取AD的中点O，连接OP，OF.
∵PA＝PD，∴PO⊥AD.
∵侧面PAD⊥底面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，
∴PO⊥平面ABCD，
∵O、F分别为AD、BD的中点，∴OF∥AB，又四边形ABCD是正方形，∴OF⊥AD.
∵PA＝PD＝AD，∴PA⊥PD，OP＝OA＝1.
故三棱锥C－PBD的体积VC－PBD＝VP－BCD＝××2×2×1＝.