射影定理在相似三角形中的应用.ppt
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射影定理的应用

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射影定理
AB·CD= AC·BC
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复习提问
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如图1，在Rt△ABC中，已知∠ACB=90°,
CD⊥AB,可得∠1=∠B
而∠A=∠A，推得△ACD∽△ABC，所以
AD：AC=AC：AB，即AC2=AD·AB。

   图1

知识导入
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 图1
  图2
如图2，在△ABC中，若∠1=∠B，那么AC2=AD·AB 成立吗？
      图1和图2都满足∠A是公共角∠1=∠B,通过相似三角形可
得相同的结论，即AC2=AD·AB。
      图1是图2的特殊情况，图2是一般情况。

创新
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例1：如图，∠ ACB= ∠ AEC  求证：AC是AE和AB 的比例中项。

证明：∵∠ ACB= ∠AEC
             ∠A= ∠A
          ∴△ACB  ∽ △AEC
            ∴ AC ： AE=AB： AC
             ∴ AC2=AE·AB

例题精讲
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图1：△ABC中，D是AB边上的一点，∠ADC=∠ACB，AD= 2，    DB=6，则AC=（        ）
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图1

图2
图2：∠BAC=2∠ABC，AD=AB=5，A C=4，
则BC= （       ）
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练一练

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如图，△ABC中，A=2B，AC=8，AB=10
（1）求BC的长？
（2）若∠A、∠B、∠C所对得边分别用a、b、c表示，那么，在∠A=2∠B这个条件下a2=b（b+c）成立吗？为什么？

D

分析：
延长CA到D，使得AD=AB，连结DB

等腰△ADB

∠BAC=2∠D

∠ABC=∠D

BC2=AC·CD
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如图 ，△ABC中，D在AB上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△ACB，那么要添加的条件是什么？
∠ACD=∠B
∠ADC=∠CB
AC2=AD·AB
∠A=∠A

△ADC ∽△ACB
∠A=∠A

△ADC ∽△ACB

∠A=∠A